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伍爾索普莊園，艾薩克·牛頓的出生地艾薩克·牛頓（1642-1727年）是有史以來最有影響力的思想家之一。他對科學的最重要貢獻是他於1687年出版的《自然哲學的數學原理》一書，在那裡他制定了著名的三個運動定律和萬有引力定律，它們統治了科學界200多年。用著名的天體物理學家和諾貝爾獎獲得者錢德拉塞卡的話來說：
只有當我們觀察到牛頓成就的規模時，我們才會發現，有時把他與其他科學家作比較，無論是與牛頓相比，還是與其他科學家相比，都是完全不恰當的。」
在數學方面，牛頓「明顯地推進了當時數學的每一個分支」，但他最著名的兩項發現是廣義二項式展開和微積分。
圖1：左邊是牛頓46歲時的肖像，出自17世紀末18世紀初英國著名肖像畫家戈弗雷·克奈爾之手。右邊是《原理》第一版的扉頁。在這篇文章中，我將重點介紹牛頓早期的數學成就。我將描述他對廣義二項式展開的推導，以及他如何應用它來得到正弦函數的冪級數展開。德裡克·懷特塞德(Derek Whiteside)被認為是「同時代最重要的數學史學家」，據他說，這是正弦(和餘弦)的冪級數首次在歐洲出現。
牛頓的廣義二項式展開
牛頓的數學創新是多方面的。但有爭議的是，他的出發點是發現了所謂的廣義二項式展開，這最早出現在1676年他寫給戈特弗裡德·萊布尼茨的一封信中。
圖2：牛頓寫給萊布尼茨的信，描述了他發現的廣義二項式展開，這發生在許多年前。牛頓原始符號中的二項式展開
在牛頓的符號中，展開表示為：
Eq1：牛頓的二項式展開使用他的符號在這個表達式中，A, B, C, D，…表示級數的前幾項：
Eq2：在牛頓的原始符號中，A, B，…表示級數的前幾項牛頓在書信中中給出的例子是：
Eq3：牛頓在書信中中給出的例子。擴展的前兩項是：
第三項依賴於前一項B，類推可得：
這個過程可以無限地繼續下去。其結果是：
現代符號表示
我們可以很容易地用現代符號寫出二項式展開式。我們首先從公式1的左邊提出P項，然後用前面相應的項來代替A、B、C、D、…(參見公式2)：
消去P項，然後分子上的係數除以分母上n的因數，我們得到：
我們可以用二項式係數重寫這個表達式。為方便起見，我們將m/n重命名為m，並應用階乘的性質將展開的係數重寫為：
使用二項式係數的標準表示法：
我們得到了現代形式的二項式展開：
Eq4：用現代符號表示的二項展開式牛頓是如何得到二項式展開的？
從英國數學家約翰·沃利斯等人之前的工作中，牛頓知道如何對整數指數進行二項式展開：
Eq5：整數指數的二項式展開，在牛頓之前就知道了下面的圖3顯示了這些係數的一個有趣的可視化結果。
圖3：指數1、2和3的二項式展開的可視化牛頓的目標是擴展公式5，使其包含指數m的非整數值。通過Bressoud，我們可以將係數排列在一個表中，包括非整數值m的擴展的空行：
圖4：牛頓之前已知的二項式展開係數表牛頓想要填充這個表格中的空單元格。他的理由如下。
第一列和第二列不難猜。第一個只包含1，第二個隨m線性增加。
圖5：二項展開的原始係數表，第一列和第二列的空白單元格被填滿。現在讓我們考慮第三列。首先，我們注意到它只包含三角數(見圖6)，可以用簡單的公式得到：
Eq6：第i個三角形數的公式。
圖6：三角形數的示例。我們還注意到第m行總是包含(m-1)個三角數。更具體地說，m=2行包含第一個三角數，m=3行包含第二個三角數，m=5行包含第四個三角數。將(m-1)代入式6，得到：
Eq7：第三列中值對m的關係。然後我們可以完成第三列：
圖7：完成前三列的二項式展開係數表。現在，注意，對於前三列，值是多項式遞增的。
第一列是常數(0次多項式)第二列呈線性增長(1次多項式)第三列根據式(2次多項式)二次增加。根據這個模式，牛頓推斷第四列應該以三次多項式的形式增加。由於這個未知的多項式在m = 0,1和2時消失，所以它的形式必須是：
其中常數a可以得到，例如，使用表的第7行，根據p(3)=1。因此：
然後我們可以填充第四列的空單元格：
圖8：前四列填充的二項式展開係數。牛頓的過程現在很清楚了。第5列和第6列對m的依賴關係可以很快得到：
我們終於可以填滿整個表格：
圖9：表中包含了二項式展開到x的五次方的係數。一般然後表達式是：
Eq7：牛頓二項式展開。(這裡使用了之前看到的二項式係數公式)。我們應該注意，引用懷特塞德的話:
矛盾的是，這種瓦利斯插值程序無論多麼合理，都絕不能證明，而且牛頓數學方法的中心原則缺乏任何嚴格的理由。。。當然，二項式定理的工作非常出色，這對17世紀的數學家來說足夠了。——懷特塞德
推導了正弦冪級數的冪級數
正弦函數的冪級數的推導在他1669年的手稿《用無限項的方程分析》中。
圖10：一頁牛頓1669年的手稿「用無限項的方程分析」。」。下面的圖10(基於Dunham)包含了理解牛頓推導所需要的所有元素，這是一個函數圖
Eq8：單位半徑圓的右上象限方程。以單位半徑描述圓的(象限)。
弧αD等於z(圓半徑1)和圖10我們獲得：
sinZ=X
Eq9:由於圓有一個單位半徑，角z的正弦值等於橫坐標x。因此，目標是確定x(作為z上的冪級數)。
圖10：Eq. 8的示意圖，包含了求正弦函數的冪展開所需的所有元素。三角形DGH和DBT相似。由於三角形ABD和DBT也是相似的，我們得到：
為了方便起見，這裡使用了萊布尼茲記號。使用Eq. 8，這個表達式變成：
牛頓的下一步是把二項式展開應用到右邊：
現在對式9求逆得到z=z(x)=arcsin x，對上面的二項式展開積分得到：
Eq10：反正弦級數。注意，要得到這個表達式，牛頓所需要的唯一積分是與下列不定積分(或不定積分)相對應的定積分：
其中C是常數。
在他的最後一步中，牛頓必須將(或者更精確地說，反求)Eq. 10轉換成正弦函數的展開式(而不是反正弦函數的展開式)。為此，他使用了之前開發的許多工具中的一種，即他的反冪級數技術。
應用冪級數求逆得到sinz
式10中要倒轉的級數為z(x)，即：
Eq11：級數展開。換句話說，牛頓所追求的是x(z)，即x關於z的冪級數。根據他的策略，我們從以下幾個步驟開始：
從第一項開始，這裡是x = z將級數表示為x = z+p將x = z+p代入方程11只保留p中的線性項，然後對結果求倒數，得到p關於z的表達式應用策略
更具體地說，我們把級數寫成：
Eq12：重新整理方程11中的項。下一步是只保留x中的線性項：
X=Z
Eq13：展開的線性近似。為了解釋掉的所有項，牛頓把x寫成了一個未知的級數p：
X=Z+P
Eq14：引入未知的p系列來解釋線性近似中下降的項。代入式12：
Eq15：原級數設x = z+p。將該表達式展開，將p的冪進行分組，得到：
Eq16：將展開式15分為p次冪。然後牛頓去掉了p的冪大於1的項，然後解出了p：
Eq17：去掉式(16)中大於1的項，求出p的表達式。牛頓只保留了分子的第一項，為了解釋掉的項，引入了一個新的未確定的q系列，定義如下：
為了確定q，牛頓把這個新的p代入方程16，只保留了q中的線性項，並解出了q，這就得到了一個類似於方程17 (p)的q的表達式，然後，他又一次只保留了分子中最低次的項，得到：
這個過程可以無限地進行。現在從方程9，x = sinz，他最終得到了正弦函數的表達式如下：
方程18：正弦函數的冪級數展開式，直到五階。其他項可以很容易地按照牛頓的方法得到。
圖11：牛頓1669年對正弦和餘弦函數的冪級數的演示。這個結果可以用泰勒級數來推導。然而，牛頓的方法卻完全不同。他的推導「提醒我們，數學並不一定是以今天的教科書的方式發展的。」相反，它是由時斷時續和奇怪的驚喜發展而來的。」