由牛頓二項式定理推導出任意對數函數的無窮級數

2020-12-14 電子通信和數學

前一篇文章我們討論了指數函數的來源，充分展現了牛頓二項式定理的無窮魅力，本篇我們繼續延伸二項式定理的用處，用它得到對數函數的無窮級數。但需參考前一篇來更好的理解本篇。

首先前一篇已經討論了a的冪可以寫成如下的樣式

於是就可以得到，其中ω是無窮大，i是無窮小，所以iω就是有限數

於是以a為底取對數得到

前一篇已經說明i取的越大，（1+Kω）^i就會遠遠大於1，所以（1+Kω）^i可以成為大於1的任何數，所以可以令其等於1+x

其中i是無窮大，ω是無窮小，所以iω就是有限數

根據上式就可以得到

所以得到

這裡的i是無窮大，根據二項式定理展開得到

因為i是無窮大，所以我們有

從而得到

進而得到

其中log（1+x）的底是a，前一篇文章已經得到

這樣我們就求出了等於1+x的對數的級數，利用這個級數我們可以求出對應於給定a的K值。我們令1+x=a，則log(1+x)=1,這樣我們就有了

令a=10,則這個無窮級數的值應該近似的等於2.30258

但是該級數項的值不斷增加，若干項的和很難看出趨於2.30258，很難判斷級數是否收斂。

將上述對數級數中的x換成-x就得到1-x對數的無窮級數

前式減後式得到(1+x)/(1-x)對數的級數

如果我們假設

則得到

於是loga=1，得到，這一等式可求出對應給定a的K

如果底a=10，則

·

該級數的項的值明顯的遞減，很快就給出K的滿意結果。

所以得到了任意底的對數函數的無窮級數。

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