數學的鑰匙:二項式定理,從初等數學通往高等數學領域

數學的鑰匙：二項式定理，從初等數學通往高等數學領域

二項式定理就是（a+b)^n,其展開有各項，即a^m*b^(n-m),各有其係數，稱為二項式係數。

二項式定理

這個公式有加法，和乘法。

牛頓發現二項式係數和組合有關係，這個係數就是對a^m*b^(n-m)來說就是C(n,m)。

牛頓

組合就是一些東西，將它們分成兩部分。比如一堆籌碼，拿棍子分開它們，分為兩堆。

對（a+b)^n而言，其係數，可以這樣理解。將其分為兩堆，一堆是m個（a+b)相乘，一堆是（n-m）個（a+b)相乘。然後從m個（a+b)相乘中取a，就是a^m，（n-m）個（a+b)相乘中取b，就是b^(n-m)。

所以這是個組合的概念，組合可以理解為拿兩個籃子去藍。一個籃子藍到m個，一個籃子藍到n-m個，那不同的藍法就是C(n,m)。

所以（a+b)^n，理解為用兩個籃子去藍，而（a+b+c)^n,就是用三個籃子去藍。而且可以分步驟藍，先用兩個籃子，再將其中一個籃子換做兩個籃子藍。

（a+b)^n的展開，就是二項式定理，可以用來展開所有六個初等函數的級數。我們知道大學的高等數學中有泰勒級數，所有的泰勒級數都是可以用二項式定理展開的。所以，這就是用代數方法解決高等數學的問題。歐拉著的《無窮分析引論》中有對這個問題的具體措施。

對二項定理的理解，需要對於排列組合有深刻的理解。排列，就是不同的東西排隊，比如赤橙黃綠青藍紫，進行排隊，就是P(7,7)。

最簡單的就是一個顏色排隊，就是赤。

然後兩個，可以分步驟，赤排頭，有一個即赤橙。橙排頭，也有一個即橙赤。

三個排隊，分赤，橙，黃，分別排頭。比如赤排頭，然後橙黃排，由上，知道兩個顏色排隊有兩種。所以這就是乘法原理，三中顏色，就是3*2*1。

四個顏色排隊，分赤，橙，黃，綠排頭。排頭有4種， 排第二要減去一種，就是三種，排第三有兩種，排第四有一種，運用乘法原理就是4*3*2*1。

帕斯卡

二項式定理的展開係數有一個直觀的，帕斯卡三角形。

即

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

我們觀察到，上一行中相鄰的兩個數字相加，就是下一行中正對的數字。

例子，歐拉數e

歐拉

e=(1+1/n)^n,當n趨向於無窮時的極限，其中的方法就是用二項式定理，將其展開得到的。