在中學數學裡，我們會經常遇到一個叫做「二項式定理（Binomial Theorem）」的知識。
二項式定理描述了二項式的冪的代數展開。根據該定理，可以將兩個數之和的整數次冪諸如（x＋y）n展開為類似axbyc項之和的恆等式，其中b、c均為非負整數且b＋c＝n。係數a是依賴於n和b的正整數。當某項的指數為0時，通常略去不寫。
二項式定理可以如下所示：
這裡的係數正好是一個組合數。比如：
好奇的同學可能會問？這是為什麼呢？
我們以3次方為例來解釋一下：
我們知道，所謂的3次方，就是3個一樣的式子連乘，所以我們可以把式子改為：
在上式的展開式中，我們最終是要在這三個a＋b中選擇一個a或者b來做乘法。
從上圖我們可以很清楚地看出，二項式展開式中的係數就是組合數。比如：a2b的係數，其實就是在三個因數中選一個b的可能性，或者說選兩個a的可能性，都是3種；ab2的係數，其實就是在三個因數中選一個a的可能性，或者說選兩個b的可能性，也是3種；a3或者b3其實就是三個因數全是a或者全是b的可能性，也就是1種。
我們知道，二項式展開式的係數還和一個叫做帕斯卡三角形的數陣有關。
仔細觀察後我們可以發現：
在很多書上都會解釋，這裡的係數規律這是由帕斯卡三角形的特性所決定的，即相鄰兩個數之和等於下一行中間的那個數。
然後開始進行證明，即：
證明過程讀者朋友們自己找書去看吧（大部分讀者估計對這個證明過程沒啥興趣），這裡就不詳細展開了，反正不是什麼難事。
那麼，也許有人會問：有麼有通俗的語言可以解釋上面的這個等式呢？當然可以。讓我用最通俗的話來解釋一下這個問題。
什麼意思呢？比如：n＝5，k＝2。假如我們要從A、B、C、D、E這5位同學中選出2位去參加演講比賽，有多少種組合的可能性呢？
學過組合數學的同學馬上就是會報出答案，5×4÷2！＝10種。先從5個同學裡面選一個，再從剩下的4個同學裡面選一個，按照乘法原理，一共有5×4＝20種可能性，但由於每選出兩個同學都會出現先選和後選的2！＝2×1＝2種的重複可能性，所以得到20÷2＝10種。
這是傳統解釋，讓我們換個角度來理解這個問題。現在以是否選到A同學為出發點。第一種情況，其中一個入選的同學是A，那麼另外一個同學就只要在另外的4個同學中選一個即可；第二種情況，A同學沒有入選，那麼只要在另外的4個同學中選兩個就能滿足條件。這兩種情況加在一起，就是所有滿足5個同學中選2個的組合可能性啦！即：
對於這個解釋，我們也可以用下面的圖形來解釋：
這個圖形所代表的數學含義相信不用我再多解釋吧！
最後，我們不得不補充一點數學史的知識。二項式定理又稱牛頓二項式定理，由艾薩克·牛頓於1664年、1665年間提出。牛頓以二項式定理作為基石發明出了微積分。其在初等數學中應用主要在於一些粗略的分析和估計以及證明恆等式等。在複數中，二項式定理可以與棣莫弗公式結合，成為多倍角公式。
另外，二項式定理在生物學中也有其用武之地，具體應用範圍為：推測自交後代群體的基因型和概率、推測自交後代群體的表現型和概率、推測雜交後代群體的表現型分布和概率、通過測交分析雜合體自交後代的性狀表現和概率、推測夫妻所生孩子的性別分布和概率、推測平衡狀態群體的基因或基因型頻率等。
好了，今年就到這裡，希望本次二項式定理的通俗解釋可以解答你們心中的困惑。下次再見！
師者，傳道授業解惑也！