高中二項式定理在新題型中的運用

2020-12-10 玉w頭說教育

題型

我們經常碰到的題都是運用二項式定理來求展開式的第幾項或者是第幾項的係數，只需要根據二項展開式的通項公式來求解即可。有時也會將求第幾項的係數和數列混合來出題，這樣的題只需要先根據二項展開式的通項公式，然後再根據求數列的方法即可。

那下圖一中的題如何解決呢？

圖一

題型思路

這道題我們大多數同學會直接將(x+a)^9用二項式定理直接展開，但是展開後所得出的展開項和題中給出的展開項並不相同，反而脫離了已知，無法求解。

所以我們要構造出題中給出的已知項(x+1)的幾次方形式，讓我們的展開項向已知靠攏。

所以這道題，我們要先將(x+a)^9變形，然後再利用二項式定理求解即可。

具體做法

第一步，將(x+a)^9變形。

(x+a)^9=(x+1+a-1)^9.

第二步，將(x+1)和(a-1)看成兩個數再根據二項式定理展開。

具體展開如圖二：

圖二

第三步，對應項相等。

圖二的展開項中也出現了(x+1)的各個次方的形式拉近了和已知的距離。

根據展開項係數相等，所以有a6就等於圖二中展開項的第七項(x+1)^6的係數。

第四步，得出結果。

結果如圖三：

圖三

總結

對於任何關於二項式定理的題，都是二項式定理展開的運用。如果給出的展開項中和根據二項式定理展開的項中沒有相同點時，我們要將(a+b)^n的形式進行變形，向已知展開項靠攏，再根據同一二項式展開項係數相等的原則，求出未知。

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