我對二項式定理(Binomial Theorem)的熱愛無以言表，它看上去有很多數學符號，但本質上是用組合的方法來解決一個長得可怕的代數問題。尤其在你邂逅美妙的楊輝三角時，就會更感受到的數學不可思議之處。
但當第一次遇到它的時候，二形式定理中這些並不熟悉的數學符號可能會讓你望而生畏。看下面的整個公式，有求和 ∑ 符號，帶有階乘的組合公式，還有各種指數都在其中。
其中從 n 個元素中選取 k 個元素的組合公式為：
二項式定理其實是一個二項多項式乘以自己 n 次最後展開得到的結果。下面就是一個抽象展開式，說明如何將二項式相乘 n 次的結果。實際上，這樣教科書般的展示方式很難閱讀。
不要擔心，這個公式實際使用並不太難，通過此文可以了解一個複雜的二項式是如何展開。
二項式定理的運用
讓我們從一個簡單的例子開始，假設我們想用算出 ，即便用逐項來乘這也並不難做，但是讓我們使用下二項式定理，以便於當你遇到更大的展開式，例如二項式的指數提升到 4，5，6…… 時，你會知道如何正確地去做。
首先，你需要確定二項式的兩項(上面公式中 x 和 y 的位置)和要展開的冪指數(n)。二項式定理的奇妙之處在於無需真得把一堆二項式相乘就可以找到展開的多項式。
另外，請注意最後展開的多項式的項數總是比要展開的冪指數大 1，這意味著如果冪指數是 3，則展開後多項式有 4 項。
例如，展開(2x-3)，這兩項是 2x 和 3，冪指數 n 的值是 3。注意，每當你在二項式中做減法的時候，一定要記得把減號作為負號寫在相應的項上。
每一項都有一個(2x)和(-3)以及 n=3 的「n 選 k」公式。你可以寫下 4 次，每一項都寫一次，把 k 的值留在「n 選 k」公式裡，冪指數暫時為空。
接下來你要填入 k 值和冪指數。這裡增加每一項的次數你可以遵循求和公式，只要遵循這些模式就很簡單了。
「n 選 k」中的 k 值將從 k=0 開始，每一項增加 1，最後一項應該是 k=n,在這種情況下 n=3,k=3。然後我們需要在(2x)和(-3)上加上冪指數。
(2x)上的冪指數從 n 開始，所以這裡是 3，每一項減少 1，直到 0。(-3)的冪指數從 0 開始，每次增加 1 直到 n，在這個問題中是 3。
因為任何數的 0 次冪都等於 1，所以可以先簡化帶有 0 次冪的項。
接下來，儘可能地簡化這些冪。
楊輝三角形中隱藏的捷徑
二項式定理展開式中每一項係數(即二項式係數)由兩個非負整數 n 和 k 來決定 。
這個數其實表達了從 n 個不同元素中取出 k 個元素的一個組合。最直接的方法是對每個問題應用下面組合數公式來計算，但是我們要藉助楊輝三角走點捷徑。
楊輝三角形是一個簡單而強大的三角形，又稱帕斯卡三角形、賈憲三角形、海亞姆三角形，它的排列形如三角形。楊輝三角的前 10 行寫出來如下：
這是很棒的一部分，隱藏在楊輝三角裡的是能解決任何「n 選 k」的答案！它就像一個秘密的小作弊技巧！下圖顯示了隱藏的「n 選 k」的位置。
對於這個問題，我們需要解出：3 選 0，3 選 1，3 選 2，3 選 3，也就是第四行的所有值。所以我們需要做的只是查找楊輝三角的第四行並把答案匹配起來。
第四行的值是 1，3，3，1，所以只需帶入 n 選 k 的值。
最後，你要做的就是將每一項相乘，並化簡為最簡形式。不要忘記檢查你的最終答案以確保每一項的冪指數仍然加到了原來的二項式上。相信我，在這類問題中很容易出現抄寫錯誤。
最後的答案：
二項式定理看起來非常令人頭痛，但是如果將其分解成更小的步驟並檢查各個部分，它展開的過程也並不複雜。
如果指數 n 推廣到任意實數次冪，即牛頓在 1665 年所發表的廣義二項式定理，這個定理不僅是微積分發明的基礎，也牛頓眾多數學發明的起點，或許在未來的文章中會單獨討論。
本文作者：[遇見數學翻譯小組] 核心成員姚佳