探秘楊輝三角

2021-02-19 努力在線

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探秘楊輝三角

 

歲月清淺，冬意漸濃，然而今日卻暖陽高照，同學們，我們趁著心情正好，這節課就一起來探秘我國古代數學的瑰寶——楊輝三角。

 

楊輝三角是人教版八年級上冊第十四章中學習了多項式乘法和完全平方公式之後的一個閱讀材料，它揭示二項式n次方展開式的係數規律：

 

 

楊輝三角不僅僅是上述係數特徵等知識，它還有哪些未知的秘密呢？今天就讓我們揭開它那神秘的面紗……

 

「橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同」，橫看、豎看、斜看、連續看、隔行看，從多種角度觀察楊輝三角的圖形，能發現不同的排列規律。同學們下面就讓我們一一來研究一下吧……


一、 橫看

 

1.楊輝三角具有對稱性（對稱美）。如圖，以中間紅色線為對稱軸每一行與首末兩端「等距離」的兩個數相等。

2.楊輝三角的第2k行中第k+1個數最大；第2k+1行中第k個數與第k個數與第k+1個數相等且最大。

3.前五行的數組合起來正好是11的n-1次方的結果。

二、 豎看：


 

每行兩端都是1，而且除1以外的每一個數都等於它肩上兩個數的和。

三、斜看

 

第一行是常數列，第二行是等差數列，第三行是二階等差數列，第三行是三階等差數列……請大家思考：前n項和？

四、 連續看

 

斜著第三行（藍色）正好是前n項求和公式。

五、隔行看


六、楊輝三角與斐波那契數列

上節課我們遺留的懸念，現在我們就分小組探究一下：行蹤詭秘的斐波那契數列與我們的楊輝三角到底有什麼神秘的聯繫……

 

接下來帶領大家走進楊輝三角的歷史：

 

楊輝三角：

 

這個三角形的二項式係數表，由於法國數學家巴斯葛的《算術三角專論》(1665年)一書而著名，被稱為「巴斯葛三角形」。但是，事實上即使在歐洲，巴斯葛也不是最先得到此表的，先於他的有德國數學家阿皮亞尼斯和司梯斐爾、義大利數學家塔爾塔利亞等人，並且此表在16世紀便已經在歐洲相當廣泛的流傳開來。繼續上溯，中亞數學家阿爾卡希於1427年《算術之匙》中也曾得到過此表，這比巴斯葛早240年，而比阿爾卡希又早120年的我國數學家朱世傑在《四元玉鑑》中，已列出直到n=8的二項式係數表，稱為「古法七乘方圖」，所謂「古法」即古已有之。

 

而我國南宋數學家楊輝在《楊輝九章算法》(1261年)中引有賈憲1023-1050年著的《黃帝九章算法細草》一書中的「開方作法本源」圖。賈憲說：「左袤乃積數，右袤乃隅算，中藏者皆

廉，以廉乘商方，命實而除之，」由此可見，我國北宋數學家賈憲於十一世紀就已創製了所謂的」巴斯葛三角「和」楊輝三角」。

 

同學們，在我們還沉浸於驚嘆我們中華文化的博大精深中；當我們還在為我們身為中國人的驕傲和自豪時；在我們如火如荼的探究中；在我們火熱的思考中；在我們激烈的爭辯中……我們這節課馬上就接近尾聲了，可是老師相信我們對楊輝三角奧秘的探究不會停止；我們對數學文化的研究不會止步；我們對數學的思考會永不停歇……

 

課後作業：請同學們查閱資料，了解圓有關歷史材料。

（下課。）

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