數學之美:楊輝三角(帕斯卡三角)的奇特性質

2020-12-17 西狂部落閣

楊輝三角（也稱帕斯卡三角）相信很多人都不陌生，它是一個無限對稱的數字金字塔，從頂部的單個1開始，下面一行中的每個數字都是上面兩個數字的和。

楊輝三角，是二項式係數在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現。在歐洲，帕斯卡（1623—-1662）在1654年發現這一規律，所以這個表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的發現比楊輝要遲393年，比賈憲遲600年。

楊輝三角

就是這個看上去平平無奇的數字三角形，卻有一些非常奇妙甚至是神秘的特性，本文將一一為您揭曉。

1、最外層的數字始終是 1

最外層的數字始終是 1

2、第二層是自然數列

第二層數字為自然數列

3、第三層是三角數列

第三層數字

什麼是三角數列，看一下下圖就明白了，這個數列中的數字始終可以組成一個完美的等邊三角形。

4、三角數列相鄰數字相加可得方數數列

三角數列相鄰數字相加的方數數列

什麼又是方數數列呢？雷同與三角數列，就是它的數字始終可以組成一個完美的正方形。

方數數列

5、每一層的數字之和是一個2倍增長的數列

每一層數列之和

6、斐波那契數列

沒錯，如果按照一定角度將直線上的數字相加，我們也可以從楊輝三角中找到斐波那契數列。

隱藏的斐波那契數列

斐波那契數列是指從 0，1 兩個數開始，每一位數始終是前兩位的和。這個數列有個神秘的特性，即越往後，相鄰兩數的比值越來越逼近黃金分割數 0.618 (或1.618，兩數互為倒數)。斐波那契數列和黃金分割數不但在大自然中處處可見，在人類的藝術設計中也是應用非常廣泛。

斐波那契螺旋線

7、素數

素數是指只能被 1 和它本身整除的數字。然而在楊輝三角裡，除了第二層自然數列包含了素數以外，其他部分的數字都完美避開了素數。

素數的分布

8、可以被特定數整除的數字形成了奇妙的分形結構

可以被 2 整除的數字

可以被 3 整除的數字

可以被 4 整除的數字

可以被 5 整除的數字

如果我們把楊輝三角再放大，就會發現這些可以被特定數字整數的數的分布非常有規律，它們會形成類似分形的圖案。

分形

這些就是閣主總結的楊輝三角的幾個奇妙特性，如果您有其他的發現，歡迎補充。

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