分離係數法 與 楊輝三角

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先舉個多項式相乘的例子。比如：

我們發現，被乘式與乘式都是按照x的降冪順序寫出來的，但被乘式中缺少了x的一次項。要把它展開，我們當然可以用被乘式的每一項去乘以乘式的每一項，然後再合併同類項。但有一種豎式的運算方式很方便：我們把被乘式與乘式寫成兩行，讓兩者的x最高次項左對齊。但要注意，缺少的項，在豎式中一定要留出空位。上面的多項式相乘就可以用豎式來寫，並進行運算，如下：

對二元齊次多項式，可類似地按其中某個元的降冪順序排列（另一元自然按升冪順序）。舉例如下：

的豎式運算為：

因為留出了空位，所以，我們對被乘式、乘式乃至積的各項字母的寫法是完全清楚的。所以，以上的豎式運算可以不必寫出各項的字母而只寫出各項的係數即可，所以上面這個兩個二元齊次多項式相乘的豎式運算就可以簡化為：

這就是所謂的分離係數法。從最後一行的這些係數出發，第一個數2代表2乘以x的4次方，第二個數-5代表-5乘以x的3次方再乘以y的1次方，. ，結果如下：

下面來看一下(a+b)^n，它就是n個(a+b)相乘，自然也是多項式乘積。我們用分離係數法。（手機橫過來看）

上圖中，每兩條橫線之間的兩行數是完全一樣的，只是錯了一位。這點很重要。為什麼要錯位，就是因為是在兩行中第一行的基礎上乘以了一個(a+b)。於是就依次得到了(a+b)的二次方、三次方、n次方的展開式。上圖中，去掉紅字、橫線和加號，剩下的內容就是楊輝三角。於是，除兩側的1以外，中間的每個數都是其正上方和左上方這兩個數的和。上面這個楊輝三角形是直角三角形，而我們通常所見為等腰三角形或正三角形。但其實結構是一樣的。

我們在說楊輝三角形時，總是說它的一個數是它肩上兩個數的和，於是就可以寫出全部數字，其實，用這種豎式方式加上分離係數法，寫出楊輝三角形更加方便快捷！