多項式乘法,分離係數法,換元法練習題

2021-02-19 瀋陽奧數

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下面是多項式乘法，分離係數法，換元法的相應練習題。有興趣的同學可以做一做。

①已知a+b=6，ab=3，求(a-3)(3b-9)的值。

②化簡

③求(2x³+3x²-4x-5)(3x³+4x²-5x-6)展開式中x²的係數。

④已知a，b，c均為常數，對任意x均有x³+ax²+b=(x+1)(x²+x+c)，求abc的值。

⑤已知a,b,m,n為常數，且始終滿足(ax²+mx+2)(3x²-nx+b)=6x^4+x³+2x²-4x-4 求(a+b)(m+n)的值。

⑥化簡(2x³+x²+x+1)(2x³-x²+x-1)-(2x³+x²+x+2)(2x³-x²+x-2)

需要PDF列印版的可以找劉老師（shenyangmath）領取，關於初中數學有任何疑問或建議也可以聯繫劉老師，謝謝大家的支持。會陸續為大家奉獻精彩內容。以下是答案與解析，解題方法多種多樣，僅供大家參考。

①答案：-18

解析：由於還沒有學習一元二次方程，不能解出a與b的具體值，所以先展開多項式
(a-3)(3b-9) = 3ab-9a-9b+27 = 3ab-9(a+b)+27
把a+b=6，ab=3代入
可得3×3-9×6+27=-18

②答案：x^10+x^5+1
解析：雖然可以直接去括號化簡。但是項比較多寫起來很麻煩，我們試一下分離係數法
   1    -1  +0  +1  -1  +1  +0  -1  +1
×)1  +1  +1
   1  -1  +0  +1  -1  +1  +0  -1  +1
        1   -1  +0  +1  -1  +1  +0  -1  +1
              1   -1  +0  +1  -1  +1  +0  -1  +1
   1 +0  +0  +0  -0  +1  +0  +0  +0  +0  +1

上面的結果是x的10次方到常數項的係數。所以結果是x^10+x^5+1

③答案：-18

解析：x的二次項應該是

3x²•(-6)+(-4x)(-5x)+(-5)(4x²) = -18x²+20x²-20x²=-18x²
所以x²的係數是-18

④答案：2

解析：(x+1)(x²+x+c) = x³+2x²+(1+c)x+c
根據二次項係數相等，有a=2
根據一次項係數相等，有0=1+c，解得c=-1
根據常數項相等，有b=c=-1
所以abc=2×(-1)×(-1)=2

⑤答案：0

解析：最高次項和常數項只與因式的最高次項和常數項有關，容易計算，可以從此入手。
根據x的最高次項6x^4=ax²•3x²=3ax^4 所以3a=6，解得a=2
根據常數項-4=2b，解得b=-2，可以發現a+b=0，不用再計算m，n
所以(a+b)(m+n)=(2-2)(m+n)=0

⑥答案：2x²+3

解析：仔細觀察可以發現有相似的多項式，把重複的多項式用字母代替來簡化。
設2x³+x²+x+1=A，2x³-x²+x-1=B
原式=AB-(A+1)(B-1)=AB-(AB-A+B-1) = A-B+1=2x³+x²+x+1-(2x³-x²+x-1)+1 = 2x²+3

希望能對孩子們有所幫助，謝謝大家的關注。

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