多項式乘法,分離係數法,換元法

2021-02-19 瀋陽奧數

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多項式乘以多項式，先用一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加，有公式

(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn

這個公式只要根據乘法分配律把括號打開就能得到，如果剛開始不太熟練，可以整體考慮把m+n當成一個整體，例如設m+n=x，則有(a+b)x=ax+bx，再把x=m+n代入得ax+bx=a(m+n)+b(m+n)=am+an+bm+bn

還有另一個常見的公式：

(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab
這兩個基本的公式有著非常廣泛的應用，一定自己動手去掉括號，然後深深的印在腦子裡。下面看一下它的基本應用，以及一些重要的方法。

例1：計算(3x²+3x-5)(2x²-x+2)
即使項目比較多，也是逐項相乘(注意不重複，不遺漏)，先用3x²與2x²，-x，2相乘，然後用3x與2x²，-x，2相乘，最後用-5與2x²，-x，2相乘，再合併同類項
上式=6x^4-3x³+6x²+6x³-3x²+6x-10x²+5x-10=6x^4+3x³-7x²+11x-10
熟練之後，可以心算把x的各次項按降冪逐一寫出。我們還會發現結果的最高次項是兩個因式的最高次項的乘積，常數項是兩個因式的常數項的乘積，而中間項可能經過合併同類項。如果題中只涉及到最高次項和常數項，那麼可以快速解答。
例2：已知對任意x，均有(ax²+3x-5)(2x²-x+b)=6x^4+3x³+3x²+11x-10 求a+b的值。
根據上面的規律，可知6x^4=ax²•2x²=2ax^4 所以2a=6，解得a=3
同理-10=-5b，解得b=2，所以a+b=5

分離係數法:先按x降冪排列，只寫出係數，缺項處補充以0，在最後的結果中填入x的適當方冪(從4開始，因為積的最高次項的次數是4)。
(3x²+3x-5)(2x²-x+2)
     3  3  -5

×   2  -1  2
    +6   +6   -10
            -3     -3     +5
                    +6    +6    -10
    +6   +3     -7   +11   -10
這個結果分別對應著4次項係數～常數項

所以結果是6x^4+3x³-7x²+11x-10

換元法
對於存在相似或重複的多項式，可以用一個變量(字母)去代替它進行簡化，簡化之後再把字母代表的原式代入。此方法與先合併同類項再求值的思路類似，只不過數字變成了字母。
例3：化簡(x²-x-1)²-(x²-x)(x²-x+1)
令x²-x-1=A，則有A²-(A+1)(A+2)=A²-A²-3A-3=-3A-2

把A=x²-x-1代入得-3(x²-x-1)-2=-3x²+3x+1

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