二項式定理」到底有多重要?

「二項式定理」到底有多重要？可能你想不到！

二項式定理的定義可以這樣簡單的描述：將「兩數之和」的「任意實數次冪」展開成「和」的形式。

這個重要的定理是牛頓於1664年在前人的研究成果上創立的。從其雛形的提出到被正式創立，前後歷經了1500多年。無數的數學家為此付出了艱辛的努力。

向那些為人類文明作出卓越貢獻的偉大數學家們致敬！

公元263年，二項式定理的雛形已經出現在我國古代的數學巨著《九章算術》裡面。

我們的祖先在遙遠的古代就已經有了「多位正整數」的「開平方」與「開立方」的記載，遠遠早於西方。

1050年，我國北宋數學家賈憲完成了數學著作《黃帝九章內經細草》，可惜己經遺失，只有部分的內容流傳於後世。

200年後的1261年，書中的部分內容「賈憲三角」和「增乘開方法」等內容被南宋的著名數學家抄錄入著名的《楊輝算法》，得以流傳於世，數學界又稱之為「楊輝三角」，為人類數學的發展作出了重要的貢獻。

可惜我國古代的數學研究沒有形成系統的理論，雖然有了二項式係數的雛形，卻沒有進一步歸納出「二項式係數」的一般公式。

可見我國古代的數學著重於「問題的獨立應用」，沒有形成「公理系統」的數學思維。

到了16世紀的西方，「二項式係數表」已經深入人心，在眾多數學家的著作裡面已經出現。

1654年，數學家帕斯卡，建立了「一般正整數次冪」的二項式定理。

經過無數數學家的努力，「二項式定理」穿過歲月的長河，歷經風雨，終於完美出爐。

1665年，牛頓在前人的研究成果上創立了現代的「二項式定理」。

再經歷100年之後，最終由數學家「歐拉」和「卡斯蒂隆」用「數學歸納法」進行了嚴格的證明。

至此，偉大的「二項式定理」誕生了！

「二項式定理」與「楊輝三角形」是數學史上令人嘆為觀止的「數形結合」。

「二項式展開式」係數的問題，實際上是「組合數」的計算問題，用「楊輝三角數」可以快速的求出「組合數」。

「二項式展開式」和「楊輝三角數」的關係非常緊密。用「係數通項公式」來計算，稱為「式算」；用「楊輝三角形」來計算，稱作「圖算」。

「二項式定理」到底有多重要？可能你想不到

異曲同工，殊路同歸，數學之美，令人驚豔！

二項式定理在」組合理論」、「開高次方」、「高階等差數列求和」和「差分法」中有著常重要的作用。

最為重要的是，「二項式定理」的不斷完善，為「微積分」的創立奠定了堅實的基礎，為人類科技的發展起到了至關重要的推動作用。

廣義二項式定理

牛頓除研究了n為正整數的情況，他還繼續研究了n為分數和負數的情況，比如

很快就發現了規律：係數正1負1交錯出現，一直下去，直至無窮。即：

牛頓把n推廣到分數，舉例來說，n=1/2，於是得到：

牛頓讓二項式定理拓展到了無窮級數，這是一項很了不起的成就，他在這上面是花了很多時間和精力的。從而微積分得以順利發展。他之前很多懸而未解的問題，至此很多都可以解決了。

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