第一：有關e的一些等式性質
前面的許多文章都得出了e的級數形式是
如果a^y=e^z 則兩邊取對數得到ylna=z,帶入上式就得到指數函數對數（log=In）
早期文章已經得到，當i是無窮大時有關e的關係式，將ylna=z帶入得到（log=In）
從上式又得到自然對數的等式形式：其中log=In
第二：分母是多項式的冪時，係數之間的重要方程關係
前面《二項式情況下的無窮級數中隱含的重要方程》文中歐拉得出分母是二項式冪形式下的分數函數的無窮級數時，它們的係數存在著一個重要的關係方程。每一項係數都有前幾項的係數決定，例如分母是二項式二次冪時，每一項都有前三項決定，分母是二項式三次冪時每一項都有前四項決定
推廣到一般形式，如果各項的係數是
n次冪時則各項係數存在如下關係，方程恆成立，這是由歐拉首次得出來的
當分母不是二項式的冪，而是多項式的冪時，級數的性質要用另一種方法來闡明，設函數為
展成無窮級數為
為了便於考察，記這個級數為
在這樣的記法之下，任何一個係數N都有他的前若干個係數決定，這個若干等於α，β，γ，δ……的個數，關係式為：
這個規律依賴於z的指數，不固定，但接近於遞推級數的項，由分母決定的規律，這一不固定的規律只適用於分子為1，或為常數的情形，如果分子包含z的另外一個或幾個冪，那麼這規律就更為複雜，如果你學了微分就變得很容易。
例如函數：
第三：用對數的級數形式計算數值的對數
前面已經得到對數函數的級數形式，我們可以用此來計算數值的對數
令x=1/5時，得到
令x=1/7，得到
第四：無理數展成無窮級數形式
二項式定理大家早已知曉，我們利用定理
可以把無理數展成無窮級數，只要m/n不是整數，定理中的項數就是無窮的，例如