基於概念圖的中外高中數學教材比較研究——以澳大利亞、美國、英國和中國教材中矩陣內容為例

引用格式：胡典順，王春靜，王靜．基於概念圖的中外高中數學教材比較研究——以澳大利亞、美國、英國和中國教材中矩陣內容為例[J]．數學教育學報，2020，29（3）：37–42．

胡典順1，王春靜2，王  靜3

（1．華中師範大學 數學與統計學學院，湖北 武漢  430079；2．天津市雙橋中學，天津  300350；3．宜春外國語學校，江西 宜春  336000）

胡典順（1965—），男，湖北孝感人，教授，博士生導師，主要從事數學課程和教學論研究．

教育部人文社會科學研究規劃基金項目——中小學核心素養測評的模型建構與實證研究（19YJA880012）；中央高校基本科研業務費專項資金資助——基於學習分析技術的高中數學核心素養評價模型研究（CCNU19TS029）

概念圖既呈現了其中的每個核心概念的縱向發展主線，又顯示了概念之間的橫向聯繫，是組織和表徵知識的有效工具．以概念圖為研究工具，選取澳大利亞、美國、英國和中國具有代表性的高中數學教材，深入探討、比較4國教材中矩陣內容的概念，並製作相關概念圖，研究矩陣內容在4國教材中的廣度和深度．發現美國和中國教材無論在廣度和深度上都比英國和澳大利亞教材更佔優勢．對中國高中數學矩陣內容的教材編寫提出以下幾點建議：保持優勢，重視「雙基」；廣度和深度相適宜；合理運用信息技術；完善高中矩陣內容的知識結構．

關鍵詞：概念圖；矩陣；高中數學教材；中外比較研究
中圖分類號：G40–059.3  文獻標識碼：A  文章編號：1004–9894（2020）03–0037–06

數學概念是人們對現實世界空間形式和數量關係的概括反映，是建立數學法則、公式、定理的基礎，也是運算、推理、判斷和證明的基石，更是數學思維、交流的工具[1]．根據定義，數學概念具有概括性、抽象性，是數學學習的基礎，只有正確理解數學概念，才能深刻理解數學的本質．數學概念的學習對學生來說有時是抽象難懂的，數學中又有很多數學概念，為了讓學生更好地理解數學概念及數學概念之間的聯繫，可以使用概念圖來幫助學生形象直觀地構建知識、加深理解．概念圖是諾瓦克教授等人於20世紀60年代根據奧蘇貝爾的有意義學習理論提出的一種教學技術[2]．概念圖是用來組織和表徵知識的工具，具有思維可視化特徵，能夠提供清晰的組織結構以促進學習者從知識的整體結構中尋找所需的學習資源．

作者在美國訪學和研修期間，發現當地高中二年級學生能夠熟練地運用矩陣解線性方程組，用科學計算器和矩陣知識配平複雜的化學方程式．同時，在很多國家，比如澳大利亞和英國，矩陣知識都是高中數學的必修內容．但在中國高中數學課程中，矩陣知識屬於選修內容，並且由於高考的壓力，很多地區和學校沒有選修該部分內容．儘管在高中階段開設與矩陣相關的課程具有一定的可行性，但鑑於國內外的教材與教學中對矩陣內容的安排差異比較大，這裡以概念圖為研究工具，選取澳大利亞、美國、英國和中國4國具有代表性的高中數學教材，深入探討、比較4國教材中矩陣內容的概念，並製作相關概念圖，研究矩陣內容在4國教材中的廣度和深度．以期對國內外高中數學教材中矩陣內容安排的可行性作進一步分析，為教材中矩陣內容的編寫提出一點建議，通過概念圖來幫助中國中學生更好地掌握矩陣這一研究數學的工具．

近年來，不同學者從不同角度進行了初高中數學教材的國際比較，取得了不少成果[3–7]．以概念圖為視角，相關學者也進行了一些研究[8]．按照諾瓦克教授所描述的，概念圖通常將與某一主題有關的概念置於圓圈或方框之中，然後用連線將相關的概念連接起來，連線上標明兩個概念之間的意義關係．概念圖通常包括節點、連線、連接詞、命題和層級等基本要素，其中，節點表示概念；連線表示概念之間的意義聯繫，並用箭頭表示方向，交叉連接是概念圖中兩個有關係的模塊之間的連接；連接詞是在連線上用於表明兩個概念之間關係的字、詞、符號或短語；命題是兩個概念之間通過連線、連接詞而形成的概念、原理的更深層意義關係；層級是同一知識領域中的概念依據其概括水平不同所進行的分層排布，概括性最強、最一般的概念處於圖的最上層，從屬的概念放在其下[9]．概念圖既呈現了其中的每個核心概念的縱向發展主線，又顯示了概念之間的橫向聯繫，每個概念圖都是一個主線明確、聯繫通道順暢的網狀體系．國外對概念圖的研究比較前沿、規範，在概念圖的基本結構、特徵、分類、編制過程、應用、評價標準等方面的研究較為深入[10]．如，Cheng C W、Greg C L和Huang K L對如何運用概念圖進行教學進行了深入闡述[11]；Stoyanova N和Kommers P認為概念圖可以作為合作學習的工具，基於計算機的概念圖可以分享不同學習者的認知情形[12]，等等．國外對概念圖的研究特點主要表現為：在教學中，從評價工具發展成為教學技能及策略；在繪製中，由手工發展成為軟體製作；在應用中，由科學學科向其它學科和社會應用發展．

概念圖的研究從20世紀90年代末傳入中國，起步較晚．近些年來，與概念圖相關的研究成果也越來越多．章建躍等人通過研究表明：美國、法國、德國、日本等國教材十分重視發揮核心概念的育人功能，圍繞核心概念建立教材的結構體系[13]．美國高中數學課程和UCSMP教材在代數領域、幾何領域以及數據統計與概率領域的核心概念處理上都有鮮明特色[14]．張豪鋒、趙耀遠、吳金鴿對多維概念圖的應用進行了研究[15]．梁榮榮、何秀玲等論述了面向課堂教學的概念圖自動生成方法[16]．解加平、辛濤對概念圖中學生的評估體系做了研究[17]，等等．

概念圖最初主要是作為檢驗學生知識結構的一種評價工具，但隨著相關研究的不斷深入，其應用範圍發生了很大的變化，在科研、教學、生物醫學、企業的知識學習等方面都有應用．在教育教學方面，概念圖在合作學習、探究式學習、移動學習資源設計等中的作用也很大，可以用於教學設計、新課導入、教學評價、複習小結中，有助於教師整體把握知識框架與教學思路、促進教學反思，能夠促進學生更好地掌握知識結構．概念圖在教育中的研究大多數是基於教學的視角，強調在教學中的用途，對教材的深入研究比較少；此外，定性研究比較多，定量研究比較少．國際數學教育的比較研究是數學教育領域的重要研究主題，這裡以概念圖為視角對中外教材進行比較分析．

為了使研究的結果具有代表性和推廣性，需要選擇在各個國家廣泛使用的教材．因此，選擇了澳大利亞VCE版本、美國Glencoe的代數2、英國A-Level版本進階數學（高等數學）中的Further Pure Mathematics和中國人教版普通高中實驗教科書選修4-2「矩陣與變換」作為研究對象，選取其中與矩陣有關的內容，比較4國教材在矩陣中的廣度和深度，並進行相關統計分析，各國教材版本具體信息如表1所示．

表1 各國教材版本信息

以概念圖為研究工具，基本思路是用節點表示概念，用連線表示概念之間的聯繫．用Cmaptools軟體製作4國教材中矩陣知識的概念圖，具體步驟如下：分別選取4國教材中矩陣的基本知識及概念作為概念圖的節點；根據概念的不同概括水平確定概念的層級，從上位到下位進行分層；用連線把同一模塊中的概念連接起來或對不同模塊中的概念進行交叉連接．在繪製概念圖的過程中，列舉出所有與矩陣相關概念之後，就可以根據概念的數量分別計算4國教材中矩陣的廣度；概念圖繪製完成之後，再對矩陣的深度進行分析．

首先，分別統計4國教材中所有的矩陣相關概念，去掉重複出現的，最後得到的概念總數算作是4國教材矩陣的總概念數；再分別計算4國教材涉及的概念數在總概念數中所佔的百分比，定性、定量地比較分析4國高中數學教材矩陣內容的數學知識廣度．

其次，先分模塊，主要用最長連接長度和連接的總和來衡量各國教材的深度，再綜合比較．將連接中的一個節點計為一個單位，連接的長度即連接的節點的個數．在計算連接的長度時，規定以下兩點：（1）交叉連接歸為連接，即在計算連接長度過程中，若出現交叉連接，則計入該連接中，但不再將交叉連接後面的節點計入該連接中．（2）計算連接長度時，每個節點在一個連接中只計算一次，並取最長連接的長度作為連接長度．連接最長長度即在所有連接中連接節點數量最多的連接的長度；連接的總和是由各個連接的長度與該長度連接數量的乘積相加得到．

根據4國教材中矩陣的概念清單計算出該國的概念數與總概念數的比值，4國教材中矩陣內容的數學知識廣度比較的柱形圖如圖1所示．

圖1 4國教材中的矩陣內容的數學知識廣度比較

4個國家高中數學教材中一共涉及69個與矩陣相關的概念．其中，美國教材中包含的概念最多，有50個，佔72.46%；其次，中國有39個與矩陣相關的概念，佔56.52%；英國教材中包含的概念數少一些，有27個，佔39.13%；澳大利亞教材中包含的概念數最少，只有20個，佔28.99%．由此可以看出，美國教材廣度最大，中國次之，英國和澳大利亞的教材中矩陣部分的知識點廣度相比其他兩個國家差距略大，美國高中數學中與矩陣相關的概念數量是澳大利亞的兩倍多．4個國家教材有很多相同的概念，比如矩陣的元素、單位矩陣、零矩陣、逆矩陣、矩陣的乘法等，但在不同教材中各有特色．

美國教材有17個概念是其他國家沒有的，與其他國家相比較，涉及了n階矩陣、三階矩陣、餘子式等；在矩陣的乘法分配律中，不僅包含了數乘矩陣的分配律，也包含了矩陣相乘的分配律，又將矩陣乘法的分配律分為左乘和右乘．中國教材中共有12個矩陣相關概念是其他國家沒有的，比如：特徵向量、特徵值、特徵行列式、二階矩陣的方冪、投影變換、切變變換、二元一次方程有非零解等，教材以具體圖形的變換為起點來認識矩陣這一數學工具，注重數和形的結合，通過圖形變換認識矩陣，再以矩陣為工具用代數的方法表示圖形的變換．英國教材只有一個概念是其他國家沒有的——方位矩陣，用方位矩陣表示變換前後的圖形以方便研究，這與英國教材中注重將圖形變換與矩陣及其運算結合起來有關係．澳大利亞教材中所有概念都在其他國家教材中出現過而且比較簡單．

概念圖的製作沒有固定的模式，這裡按照以下4個步驟完成概念圖的製作：列出關鍵概念清單；確定概念等級；初步製作概念圖，建立層級；不斷修改，逐步完善．利用Cmaptools軟體製作的4國教材中矩陣知識的概念圖，分別如圖2、圖3、圖4和圖5．

圖2 澳大利亞教材概念

圖3 美國教材概念

圖4 英國教材概念

圖5 中國教材概念

比較4個概念圖連接以及交叉連接的數量和拓展的程度，可以發現澳大利亞和英國教材的概念圖比較簡單，而中國和美國的概念圖比較複雜．主要用最長連接長度和連接的總和來衡量各國教材的深度，連接的最長長度越長，表示在一定程度上深度越大；連接的總和越大，可在一定程度上說明深度越大．仔細觀察這4個縱橫交錯的概念圖，發現除澳大利亞教材外，其他每個國家教材中都涉及了與「圖形的變換」有關的概念．第一層次有4個明顯的節點——「矩陣的概念」「矩陣的運算」「圖形的變換」「行列式及其它」．下面從這4個模塊分別比較4國教材中矩陣內容數學知識的深度．

（1）矩陣的概念．

4國「矩陣的概念」模塊深度對比見表2．

表2 4國「矩陣的概念」模塊深度對比

觀察表2，澳、美、英、中的最長連接長度分別是5、3、2、3，連接長度總和分別為30、23、5、18．由此可知，在「矩陣的概念」模塊中，澳大利亞教材深度最大；雖然美國和中國最長連接的長度都是3，但美國的連接長度總和高於中國，所以，在「矩陣的概念」模塊中，美國教材深度大於中國教材的深度；英國的最長連接長度和連接長度總和都是最小的，所以「矩陣的概念」深度也是最小的．

聯繫前面比較各國教材中矩陣內容廣度的結果，可以發現澳大利亞教材的廣度雖然最小，但其「矩陣的概念」模塊的深度最大，說明澳大利亞教材在所有的矩陣知識中最注重矩陣基本概念的學習、理解和應用．比如，澳大利亞教材將逆矩陣與線性方程、兩直線的位置關係、解的情況結合起來，而其他國家只是講了逆矩陣與線性方程的關係，沒有進行詳細講解．

（2）矩陣的運算．

4國「矩陣的運算」模塊深度對比見表3．

表3 4國「矩陣的運算」模塊深度對比

由表3可知，澳、美、英、中4個國家最長連接長度分別是2、3、3、2，連接的長度總和分別是10、24、17、9，由此可以得出在「矩陣的運算」模塊中，深度由高到低分別是美國、英國、澳大利亞和中國．

由比較結果可以看出，美國教材更注重矩陣運算的學習．英國教材在「矩陣的運算」模塊中的一個特色，是將矩陣的乘法不滿足交換律與複合變換的順序不能顛倒結合起來；中國教材沒有講授用計算器進行計算，而且只局限在二階矩陣和平面向量，所以深度較淺．

（3）圖形的變換．

4國「圖形的變換」模塊深度對比見表4．

表4 4國「圖形的變換」模塊深度對比

由表4可以發現，澳大利亞教材沒有涉及「圖形的變換」模塊的知識，其他3個國家最長連接的長度分別為3、2、3、連接長度的總和分別是12、18、19．由此可以知道，「圖形的變換」模塊中中國教材的深度最大，美國和英國的深度相差不大．

中國教材從圖形變換的直觀圖象來認識矩陣及矩陣的意義，多次通過直觀圖形理解矩陣的意義，用矩陣表示圖形的變換，因此，「圖形的變換」模塊深度比較大．其他兩個國家的教材也各有特色，從不同角度將圖形變換與矩陣知識結合起來：美國教材由等距變換講授平移變換的知識，重點將矩陣、矩陣的運算和圖形的變換結合起來；英國教材將複合變換的順序和矩陣乘法不滿足交換律進行比較．

（4）行列式及其它．

4國「行列式及其它」模塊深度對比見表5．

表5 4國「行列式及其它」模塊深度對比

由表5可以發現，澳、美、英、中4個國家連接長度為2的連接數量最多，分別為3條、3條、4條和5條，最長連接的長度分別是2、4、2、3，連接長度總和分別為6、20、8、16．由此可以看出，「行列式及其它」模塊中深度由高到低，分別為美國、中國、英國和澳大利亞．

在「行列式及其它」模塊中，美國教材矩陣內容的深度最大，講授了很多其他國家沒有涉及的稍難的內容；中國教材深度次之但適宜，而英國和澳大利亞的教材略微簡單．該模塊是對矩陣知識的補充，教材應把握好知識的廣度和深度，在初步學習矩陣知識時，不宜知識過多、難度過大．

如果將每個模塊中4個國家的深度次序由高到低分別賦值4分、3分、2分和1分，可以得到4國教材矩陣內容深度的堆積柱狀圖，需要在此說明的是：以下對教材中矩陣內容深度的比較並非對各個國家教材進行排名，只是為了更直觀地展示各國在深度方面的不同．

由圖6的綜合比較圖可知，美國教材在4個模塊中的深度比較均衡，都比較大；中國教材的矩陣內容整體深度也比較大，但低於美國，分布略有不均，「矩陣的運算」模塊比其他3個國家深度小；英國教材矩陣內容的整體深度不算太大，「矩陣的概念」深度較小；澳大利亞教材矩陣內容的深度最小，而且教材中沒有編排「圖形的變換」．

圖6 4國教材中矩陣內容深度綜合圖

在廣度方面．美國教材涉及矩陣的概念是4個國家中最廣泛的，中國教材中矩陣內容的知識廣度也比較大，但與美國相差近16%，主要是因為中國教材對矩陣的運算和行列式部分講解得比較少．與其他3個國家相比較，中國教材不要求讓學生運用計算器進行矩陣有關的運算．在英國和澳大利亞的教材中，矩陣部分的知識點廣度相比其他兩個國家要小一些，澳大利亞教材中矩陣的知識廣度最小．

在深度方面．在矩陣內容的不同模塊中，每個國家教材的深度都存在一定的差異．在「矩陣的概念」模塊中，深度由高到低的國家分別是：澳大利亞、美國、中國、英國；在「矩陣的運算」模塊中，深度由高到低的國家分別是：美國、英國、澳大利亞、中國；在「圖形的變換」模塊中，深度由高到低的國家分別是：中國、英國、美國、澳大利亞；在「行列式及其它」模塊中，深度由高到低的國家分別是：美國、中國、英國、澳大利亞．總體來看，美國教材中矩陣內容的深度最大，中國和英國次之，澳大利亞教材的深度最小．

根據研究結論，對中國高中數學中矩陣內容的教材編寫提出以下幾點建議．

（1）保持優勢，重視「雙基」．相比較而言，中國教材更適宜學生學習，矩陣內容的廣度和深度都處於較高水平，很多例題需要概念性的理解，但是略微忽視了學生矩陣運算技能的培養．在培養運算技能方面，只編寫了二階矩陣的加法、平面向量、二階矩陣的乘法，對矩陣的認識存在一定的局限性，理論性較強．由於高中生第一次接觸並學習矩陣內容，所以應加強矩陣基礎知識、基本運算技能的訓練．「雙基」是中國數學教育的一個特色，在矩陣的教材編寫中，也應保持傳統教育的優勢，保證學生既能較全面地認識矩陣這一數學工具，也能很好地完成矩陣的基本運算，為以後的學習打好基礎．

（2）廣度和深度相適宜．中國教材中矩陣內容的廣度和深度都處於較高的水平，以矩陣發展的歷史軌跡為思路編排，從圖形的變換認識矩陣．在矩陣知識的廣度和深度方面，很難確切地斷定編排哪些知識點更好，可以以有助於學生認識、理解和應用矩陣為目的進行編排．矩陣內容對學生來說比較陌生，適當地增加數學知識的廣度並保持一定的深度能夠增強學生對矩陣的認識和理解．比如，可以介紹三階矩陣的概念和三階行列式的計算方法，這些能夠培養和鍛鍊學生從特殊到一般的思維方式．

（3）合理運用信息技術．其他3個國家的教材都涉及了如何運用計算器進行矩陣的有關運算，中國教材中只有矩陣的筆算．計算器是一種學習的工具，有必要教會學生如何用計算器進行檢驗和探究與矩陣有關的問題，這也應該是高中生應掌握的一項基本技能．雖然中國教材中包含的矩陣相關計算比較簡單，計算比較容易，但計算器作為一種運算工具，教師應該在適當的時候教會學生使用，為學生以後的學習做好準備．如在學生進入大學後遇到複雜的矩陣問題時也可以進行思考，不必因為筆算複雜而停止研究．

（4）完善高中矩陣內容的知識結構．4個國家高中數學教材中一共涉及69個與矩陣相關的概念，其中，中國有39個與矩陣相關的概念，可以適當增加一些有必要的概念、減少一些不適合高中生的概念，完善高中教材中矩陣內容的知識結構，以便更適合中國高中生的數學認知結構．一個更完善的矩陣知識結構有助於教師在備課、閱讀數學教材時運用概念圖來整體把握矩陣知識的框架和教學思路，提高知識結構化水平，從而更好地評價學生的知識掌握情況，促進學生形成更深刻廣泛的知識遷移，以便更好地理解矩陣相關知識．

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Matrix Content in Senior High School Mathematics Textbooks from Australia, the United States, the United Kingdom, and China: An Analysis Using a Concept Map
HU Dian-shun1, WANG Chun-jing2, WANG Jing3
(1. School of Mathematics and Statistics, Central China Normal University, Hubei Wuhan 430079, China; 2. Shuangqiao Middle School in Tianjin, Tianjin 300350, China; 3. Foreign Language School in Yichun City, Jiangxi Yichun, 336000, China)

Abstract:  A concept map, which is an effective tool to organize and represent knowledge, not only presents the main line of the vertical development of its core concepts but also shows the horizontal linkage among concepts. Using a concept map, we explore and compare the breadth and depth of the matrix content in representative senior high school mathematics textbooks from Australia, the United States, the United Kingdom, and China. We found that U.S. and Chinese textbooks have advantages over the U.K. and Australian textbooks with respect to breadth and depth. We propose the following suggestions for textbook development and revision in China related to matrix content: maintaining the Chinese textbooks』 advantages on the 「two basics,」 balancing breadth and depth of the content, using information technology whenever it is appropriate, and improving the knowledge sequencing of matrix content in senior high school.
Key words:  concept map; matrix; mathematics textbooks in senior high school; comparative studies