皮克定理:一個神奇數學定理的探尋與證明之路

有很多讀者問我的數學思維講義寫得如何了？何時可以出版？實在抱歉，目前只寫了一半，因為手頭還有作品的翻譯任務，分身乏術，所以只能盡力而為之吧！感謝大家的關心和支持！

另外，也有很多讀者問我網課何時可以上線？這個問題我真心回答不了，因為我比較懶。其實大家可以看我的文章，寫得都很詳細，關鍵還免費的！嘿嘿！

本文是我去年給高年級孩子的一次講課內容，今天整理成文，希望能讓更多的孩子看到數學之美。

讀完本文之後，也許你們會發現，其實每個人都是有機會成為數學家的。

 

第一部分：什麼是皮克定理？

 

1899年，猶太數學家皮克（Georg Alexander Pick）發現了一個被譽為「有史以來最重要的100個數學定理之一」的「皮克定理」（Pick's Theorem）。這個定理是這樣說的：給定頂點座標均是整點（或正方形格子點）的簡單多邊形，其面積𝑨和內部格點數目𝑰、邊界格點數目𝑩的關係為𝑨=𝑰+𝑩/𝟐−𝟏。

例如：

            

根據皮克定理，我們可以得到：

我們可以通過間接計算的方法驗證這個結果：

S＝S長方形－（S1＋S2＋S3＋S4＋S5）＝12×8－（1×4÷2＋6×4÷2＋6×2÷2＋6×4÷2＋7×3÷2）＝96－（2＋12＋6＋12＋10.5）＝96－42.5＝53.5。

哇，最終的結果正如皮克定理所說的那樣，面積的計算居然可以通過數點數來得到，真的很神奇有木有？

Pick於1859年出生在奧地利的首都維也納，1943年死於特萊西恩施塔特集中營。我們在欣賞這樣美妙的定理之時，不禁要緬懷一下這位偉大而不幸的數學家。

 

第二部分：問題的起源

 

皮克定理的發現要從古埃及說起。

古埃及人鋪地板時發現，用同樣大小且同一種的正多邊形鋪地板時，只能用正三角形、正方形與正六邊形，得到三種圖案。

古埃及人又從鋪地板中，發現三角形三個內角和為一平角（即180°）。

我們也可以利用摺紙的實驗，發現這個定理。即沿著DE、DG、EF把三角形折成長方形DEFG，那麼∠𝑨、∠𝑩、∠𝑪疊合於A』點，成為一個平角。

古埃及人還從拼地板中發現了畢達哥拉斯定理（勾股定理）。

其實，我們也可以利用幾何畫板 (Geoboard)，發現更多的畢達哥拉斯定理的特例。例如：

不論是起於好奇或實用，其實都引出了一個有趣的數學問題：平面上以格子點為頂點的多邊形，其面積公式是什麼呢？如何探尋它？

 

第三部分：規律的探尋

 

要追尋一個公式或規律，通常是由特例著手。一個問題的特例，正如其推廣或類推，往往有各種式樣。換言之，一個問題並非是孤立的，而是座落在由許多問題所連結起來的四通八達的網絡上。

例如，在上述問題中，將多邊形改為三角形或長方形，就是一個特例的思考方向。也可以將二維平面的問題，改為一維的直線問題，這又是另一個特例的思考方向。

找到一個適當的特例，由此切入，逐步尋幽探徑，發現其一般規律後，從而解決整類的問題，這是最令人欣喜的事情。

（一）從一維特例出發。我們選擇一維的特例來思考，此時不過是簡單的「植樹問題」。例如：在一條線段上每隔單位距離種一棵樹（即在格子點上種樹），兩端皆種，問線段有多長？

我們觀察到格子點可分成內點（interior points）與邊界點（boundary points）兩類。假設內點與邊界點的個數分別為i與b(事實上 b=2)。顯然線段之長 L 為：

我們也可以這樣想：如果在相鄰兩格子之中點加以分割，得到許多小段，那麼每一個內點所在的小段皆具有單位長度，而每一個邊界所在的小段只有1/2單位長度。換言之，一個內點貢獻一個單位長度，而一個邊界點只貢獻了1/2個單位長度。因此，線段的長度為：

（二）推廣到二維平面。對於平面上以格子點為頂點的多邊形，其面積公式是什麼呢？我們初步猜測多邊形面積為：

接著是用一些例子對猜測作試驗。因為多邊形有無窮多種，所以即使試驗再多的例子都成立，這都不能代表已證明出我們的猜測，但是只要有一個例子違背（稱之為反例），就否定掉猜測。舉「凡是天鵝都是白色的」，我們觀察過再多的白色天鵝都無法得到證明，但是只要出現一隻黑天鵝就否定掉這句話了。這種證明和否證的不對稱性值得注意。

現在，我們將前面三個圖形的面積列表如下：

經過比較，我們發現之前猜測的公式都不對。該如何修正呢?

我們進一步觀察規律，發現最後兩列相差的數量相等，即相差1，所以我們將公式修正為：

我們也可以從另一個角度來觀察這個公式。仿照一維植樹問題的情形，考慮前面的長方形圖。我們發現，一個內點貢獻面積1，而邊界點分成兩種情形：（1）在側邊上的點，每一點貢獻面積𝟏/𝟐；（2）四個頂點，每一點貢獻面積𝟏/𝟒。因此，如果每一個邊界點都看成是貢獻面積𝟏/𝟐，則整個合起來就多算了一個單位面積，必須減掉。

再對這個公式作試驗，考慮如下圖形：

容易求得它們的正確面積分別為9/2、13與25/2。另一方面，按公式來計算，分別得到9/2、13與13。因此，對於前面兩個圖形而言，公式成立；但是，對於第三個圖而言，公式就不成立了。

我們發現，該圖比較特別，有兩個邊交叉了，這並不是通常所謂的多邊形。如果將這種情形排除掉，只允許邊與邊沒有交叉的情形，我們稱之為單純多邊形（simple polygon），那麼我們猜測，公式對於單純多邊形都會成立。

 

第四部分：定理的證明

 

一般而言，數學是先有觀察與猜測（這個階段允許犯錯），然後才有試驗、修正與證明。

數學絕不是突然（out of the blue）從天上掉下一個公式或定理，然後就要我們去證明。

通常數學教科書所犯的毛病就是按「定義、定理、證明」等抽象方式來鋪陳，這樣無法看到數學的發展過程。

為了證明公式，首先讓我們分析單純多邊形:

（1）最簡單的單純多邊形就是原子三角形（atomic or primitive triangles），亦即除了三個頂點之外，三邊及內部皆不含格子點之三角形，見下圖，其面積皆為𝟏/𝟐，並且可用公式來計算：𝟑/𝟐+𝟎−𝟏=𝟏/𝟐。因此，對於原子三角形，上述公式成立。

（2）其次，我們觀察到對於任意的單純多邊形都可以先分割成三角形（即三角形化），再進一步分割成原子三角形的組合（這叫做原子化），見下圖。

（3）最後考慮任何單純多邊形Γ，將它分割成兩個單純多邊形Γ𝟏與Γ𝟐，見下圖。設Γ有𝒃個邊界點、𝒊個內點，並且Γ𝟏和Γ𝟐分別有𝒃𝟏個與𝒃𝟐個邊界點、有𝒊𝟏個與𝒊2個內點。再設Γ𝟏與Γ𝟐有𝒃3個共同的邊界點。

則：

𝒃=𝒃𝟏+𝒃𝟐−𝟐𝒃𝟑+𝟐；𝒊=𝒊𝟏+𝒊𝟐+𝒃𝟑−𝟐

所以：

𝒃/𝟐+𝒊−𝟐=(𝒃𝟏/𝟐+𝒊𝟏−𝟏)+(𝒃𝟐/𝟐+𝒊𝟐−𝟏)

即：Γ＝Γ𝟏＋Γ𝟐。

因此，我們發現，這個公式在分割下具有加性（additivity）。

現在換個角度再來證明一下這個定理的正確性。

重新整理皮克定理的證明思路，具體如下：

（1）首先，證明對長方形是成立的；

（2）接著，再證明對直角三角形是成立的；

（3）然後，繼續證明對任意三角形也是成立的；

（4）最後，證明對於兩個圖形的組合還是成立的。

假設這個公式是對的，我們先看第四步：證明對於兩個圖形的組合是成立的。

將兩個圖形組合在一起。注意：重合的兩個邊界點，分別多了1/2個點，所以最後是減去2，而不是減去1。

回頭證明第一部分：公式對長方形是成立的。以一個長為𝒙、寬為𝒚的長方形為例。

接著證明第二部分：對直角三角是成立的。以一個底為𝒙、高為𝒚的三角形為例。先假設斜邊上沒有邊界點（除了頂點）。

繼續。現在考慮斜邊上有邊界點的情況。通過對第四種情況的證明，我們可以將三角形分割為長方形和三角形的組合。

最後證明第三種情況：皮克定理對任意三角形也是成立的。

這裡，我們可以通過從長方形減去外圍三角形的方法得到證明。

最後，作為鞏固聯繫，小朋友們可以自己應用皮克定理計算下圖的面積：

 

第五部分：小結

 

一個好的數學結果，除了定理本身漂亮之外，更要緊的是它要具有推廣的潛力，能在許多相關結果中佔有樞紐的地位。皮克定理就具有這樣的推廣潛力。

皮克定理有許多方向的推廣。例如：它可以推廣到更一般的多邊形，邊可以交叉，中間可以挖掉多邊形；也可以推廣到不同形式的格子點，如正六邊形格子點；更可推廣到三維空間的多面體之情形。

其實在我看來，這篇文章的重心不在於皮克定理是什麼，而是在於如何去發現、探索、猜想並證明一個定理，這才是學數學要學的重要方面，公式本身並不能說明什麼問題，但背後的原理和證明過程往往很精彩。希望每一個學數學孩子都不要只顧著解題與技巧，而忽略了數學公式背後那些精彩而又美麗的探索與發現過程。

 

最後，希望小朋友們將來也能成為數學家！

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