講個道理:其實,植樹問題就是皮克定理小時候……(文末贈送神秘人物言語)

2021-02-19 明師之道

本期明師

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你聽說過皮克定理嗎？

如果你是蘇教版地區的老師或學生，那麼在五年級上冊的《釘子板上的多邊形》數學課中，你已經初步了解了皮克定理。

如果你在課外學數學，那麼必定更加熟悉，皮克定理是課外數學拓展的重要內容。

皮克定理，由數學家皮克（Pick）在1899年提出，是一個可以通過數多邊形的點的數量，來得出面積的公式。展開來說，就是在點陣圖上，如果畫一個頂點都正好在交叉點上的多邊形，那麼我們只要數各種點的數量，就能知道這個多邊形的面積是多少，無論這個多邊形有多麼複雜。

聽起來是不是很厲害？無論這個多邊形有多複雜哦，它可以簡單得就是一個普通的長方形，也可以複雜到比下圖這隻奔跑的小狗還繁複得多。

（如果你閱讀完全文，應當能求出這小狗多邊形的面積，請留言）

那麼皮克定理是什麼呢？

語言表述是，「格點多邊形的面積＝內部點數＋邊線點數÷2－1」。要補充說明的是，格點多邊形指的是頂點在交叉點上的多邊形，並且邊線不能交叉，多邊形的凹凸倒是沒有關係。

用公式表示就是S＝n＋m÷2－1，公式中，S表示多邊形的面積，n表示多邊形內部的點數，m表示在多邊形邊線上（包括頂點上）的點數。

皮克定理的道理是什麼呢？我是這樣理解的，計算一個圖形的面積，本質上就是數它包含有多少個標準的面積單位，也就是一個個正方形小方格。很容易看出，內部的每一個點都佔有完整的1個面積單位。

而如果點在邊線上，那麼無論線是以什麼方向穿過這個點，只佔有半個面積單元。稍有點難的是公式末尾的減1。

這個「減1」有什麼道理呢？我的理解是，因為頂點上的各個點就連一半的面積單位也不到，各損失一部分，而這些損失的部分合起來，正好是一個完整的面積單位。之所以這樣，是因為損失的部分所對應的正好是每個角的外角，而任何多邊形的外角和總是360度，也就是一個完整的面積單位了。

這個解釋雖然不夠規範，但是很容易讓孩子們理解。我搜索到多個蘇教版應用地區的老師和孩子做的課後繼續研究，許多孩子也自主發現了這樣的道理，正說明這個解釋是親近兒童的。

我前陣子在公眾號上介紹過皮克的生平，當時有一位網友留言說閔翤鶴先生有更規範的證法，有興趣的朋友可以找來看看。

我更感興趣的是臺大蔡聰明教授的發現。

他指出，皮克定理是在二維平面上起作用的，而如果把這個二維世界裡的定理坍縮到一維世界裡，其實就是所有小學數學老師和學生都耳熟能詳的植樹問題。

植樹問題哦！不是嗎？請看圖：

顯然，上圖中線段的長度，即我們在數學課堂上所說的間隔數，而這個間隔數與點數（比喻為所種的樹的棵數）之間有什麼聯繫呢？

我們把這些點分成內部點與邊界點兩種。可以看出，線段的長度就等於內部點＋1，或者等於內部點＋邊界點÷2。

可以寫成公式：L＝n＋m÷2。是不是與皮克定理很相似了呢？完全可以看成是皮克定理的一維版本。

許多年來，我們認識了皮克定理，也一直知道植樹問題，但很少有人想過，它們之間的聯繫。當你把二維的皮克定理降到一維世界中去觀察的時候，會驚奇地發現，它居然就是植樹問題。

讓人不由得感嘆數學的神奇。

讓人再一次確認，學數學，厲害的是在別人沒想到的地方看出聯繫，發現秘密。

為什麼會這樣呢？我不由想起羅鳴亮老師從《長方形的面積》到《長方體的體積》，一以貫之的數學教學思想，也就是那位神秘人物luomingliang的名人名言：測量測量，就是數一數，量一量有多少個這樣的測量單位。

秉持這樣的數學道理，羅老師已經從二維前進到三維，把《長方形的面積》的教學思想，貫徹到《長方體的體積》中，那麼我們也可以很期待，他來個一維的版本《線段的長度》。

講數學道理，發現數學妙趣。

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