碑言志——數學家的墓志銘(二)

在上一篇文章裡介紹的丟番圖，阿基米德，高斯，都是聲名赫赫的大數學家。他們的墓志銘也成為大家口口相傳的故事。這裡介紹的幾位數學家，他們的墓志銘雖然沒有引起很多人的關注，但同樣也有值得我們尊敬的故事。

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數學精神，並不獨屬於那些大師級的人物。還有一大批傾倒於數學之美的「小人物」，儘管他們的數學成就或大或小，甚至微不足道，但他們的專注精神同樣應該贏得尊敬。下面介紹的幾位人物，既包括大數學家歐拉和「科學之祖」泰勒斯，也有未進入大師行列的馬克勞林和伯努利，還有痴情多於才華的魯道夫。而更多的人默默無聞，他們的故事也消失在歷史長河中，沒有流傳下來。

泰勒斯，古希臘時期的思想家、哲學家、數學家、天文學家，是希臘最早的哲學學派——米利都學派的創始人。他是西方思想史上第一個有記載有名字留下來的思想家，被尊稱為「科學和哲學之祖」。

泰勒斯的墓志銘如下：

這位天文學家之王的墳墓稍微小了一點，但他在星辰領域中的榮光是頗為偉大的。

這段話並沒有體現他作為思想家和數學家的身份。這一方面說明他在天文學方面的成就得到公認；另一方面，可以推測他作為思想家和數學家的地位，是在希臘文明逐漸走向輝煌的過程中才顯現出來。泰勒斯生於希臘文明從蒙昧狀態開始萌芽的年代，相對於那些身處黃金年代而為後世仰望的璀璨群星，泰勒斯更多一分難能可貴的拓荒精神。

萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler），瑞士大數學家。他的數學成就如此之多，他的名字幾乎出現在所有的數學分支——初等幾何的歐拉線、多面體的歐拉定理、立體解析幾何的歐拉變換公式、數論的歐拉函數、變分法的歐拉方程、複變函數的歐拉公式，等等等等。

歐拉是數學史上最多產的數學家。據統計，他一生平均每年發表八百頁的學術論文。1911年，數學界開始系統地出版歐拉的著作，並定名為《歐拉全集》，全集計劃出84卷，平均每卷厚度為500多頁。

1783年9月18日下午，歐拉為了慶祝他計算氣球上升定律的成功，請朋友們吃飯。喝完茶後，菸斗突然從他手中落下，口裡喃喃地說：「我死了」。法國哲學家孔多塞說，歐拉終於「停止了生命和計算」。

儘管成就如此巨大，但歐拉卻是一位以謙遜著稱的數學家，而不像同為著名數學家的牛頓和高斯那樣性格乖僻。他的墓志銘同樣質樸無華，只有短短的一行字：

彼得堡科學院院士，萊昂哈德·歐拉。

馬克勞林（Maclaurin, Colin），英國數學家。他的代表作是《流數論》，是分析學早期的重要文獻，其中包括了以他名字命名的馬克勞林級數。馬克勞林年輕時得到牛頓的大力提攜，他也一直不遺餘力地維護牛頓的學說。由於他在英國具有的影響力，這在客觀上助長了英國數學界的保守傾向，並因此逐漸落後於歐洲大陸的數學發展。

馬克勞林的墓志銘非常簡短而耐人尋味：

承蒙牛頓引薦

雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli），瑞士著名的伯努利家族中的一員。伯努利家族是瑞士著名的家族，先後出了11位數學家，其中有三位在數學史上都有較大的影響，而雅各布是其中最年長的一位，其他兩位分別是他的三弟約翰以及約翰的次子丹尼爾。

雅各布的數學成果很豐碩，如懸鏈線問題（1690年），曲率半徑公式（1694年），「伯努利雙紐線」（1694年），「伯努利微分方程」（1695年），「等周問題」（1700年）等。他還是概率論的先驅之一，提出了伯努利實驗和大數定律。

對數螺線（等角螺線）

雅各布還醉心於對數螺線（也稱為等角螺線）的研究。笛卡爾在1638年首先研究了對數螺線，而雅各布發現了對數螺線的很多有趣的性質，例如在很多種變換下都保持不變。他臨終前特意囑咐將一正一反的兩條對數螺線刻在他的墓碑上，並附以頌詞「縱然變化，依然故我」。這句話可謂一語雙關，既是在描述對數螺線的不變形，同時也表達自己對數學不變的追求。

需要特別註明一下，雅各布墓碑上的頌詞是以拉丁文寫成，原文是「Eadem mutata resurgo」，英文的譯文通常表述為「I shall arise the same, though changed」。

魯道夫·范·科伊倫（Ludolph van Ceulen），荷蘭數學家。雖然他在1600年成為荷蘭萊頓大學的第一位數學教授，但他把主要精力全都放在了求解圓周率的更精確的數值上。魯道夫使用的是1800多年前阿基米德提出的方法——計算圓的內接正多邊形和外切正多邊形的周長，分別作為圓周率的下界和上界。阿基米德算到了正96邊形，而魯道夫窮盡一生，最多用到了2的62次方邊形，一直算到了小數點後第35位數字。在那個純手工計算的年代，特別是還涉及到不少開方運算，能算出這麼多位有效數字，堪稱一個奇蹟！

當然，如果不是因為圓周率的計算，魯道夫根本不可能在數學史上留名。可見將一件事情做到極致，就是偉大。為了表達對魯道夫的精神的欽佩，人們將圓周率精確到小數點後35位的值稱為「魯道夫數」。而魯道夫自己也對這件事情感到非常自豪，因此要求將這個數值刻在他的墓碑上。

上圖就是魯道夫的墓碑。上面實際上刻了兩個值，分別是圓周率的上界和下界，兩個數值只有最後一位數相差1。

順便說一句，純手工計算圓周率的最高紀錄是弗格森(英國)和倫奇(美國)在1948年創造的，他們算到了小數點後808位數字。不過他們使用的方法是梅欽（英國）發明的代數方法，比魯道夫（也是阿基米德）的方法效率高很多，所以工作量比魯道夫還要小。從1950年開始，人們已經用電子計算機來計算圓周率，第一個用計算機得到的圓周率值已經達到了小數點後2037位。所以上述的手工計算圓周率的世界紀錄，應該不會再有人去打破了。

後 記

原本還打算八卦一下牛頓的墓志銘，已經寫了一半，後來覺得他的墓志銘太長了，而且內容更像本朝革命家的悼詞。要割捨這樣一位大數學家有點為難，但反覆讀了幾遍他的墓志銘後，感覺文字內容跟數學精神還是有太大的差距。

牛頓的數學精神和數學成就都是值得一書的，但略帶悲劇意味的是，正因為他的成就之大，也就不可避免地被捲入政治漩渦中。他的墓志銘就文字來說可謂極盡奢華，卻正如一塊金磚——雖然金燦燦地耀眼，但多看一會兒就有視覺疲勞了。想八卦的讀者請自行上網搜內容吧。

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