排列組合，在英文數學中叫 Permutation and Combination，運算起來常用首字母 P 和 C 表示，單看不難。
但一到綜合問題中，就會有很多個 P 和很多個 C，中間還常用加減乘除號連接，很多人一學就蒙，一算就算重算漏。
書上的中等難度的題舉例如下：
如何解決「一學就蒙，一算就錯」這個問題呢？我覺得大家可以先不必著急死記硬背公式，先用小的數字+幾個故事理解一下這些公式怎麼來的、適用於哪些問題，就容易學懂了。
所謂排列組合，排列在組合之前，咱們要聊的第一個概念是「排列」，排列的英文是 Permutation 或者 Arrangement，因此在數學符號中，用 P 或者 A 表示都可以，二者意思完全一樣。
我們常見的 P 右邊會跟兩個數字（或字母），右下角的數字 n 表示總數，右上角的數字 m 表示抽出的個數。整個符號的意思是「從 n 個人中，有順序地抽出 m 個人的抽法數」，可以讀作「P n 抽 m」。。那麼，到底什麼叫做有順序的？我們來舉個數字很小的例子：
比如：班裡有三名同學，成績前兩名有幾種可能性？
咱們可以用乘法原理：選第一名有 3 種可能性，選第二名有 2 中可能性，因為第一名那個人不可能同時又是第二名了，將這兩步相乘起來。（如果你不太理解乘法原理，可以看看下圖直觀列舉的表示。）
這個公式需要注意的是：雖然書上每次講到這個公式時一般以階乘（factorial）的形式給出，但實際計算中，往往不用階乘。我的記法是：從大的數字開始往小乘，乘「小的數字那麼多」個。
咱們聊的第二個概念是「組合」，它比排列更常用，組合的英文是 Combination，因此在數學符號中用 C 表示，美國和英國教材中，也常用「長括號」表示組合數。
我們常見的 C 右邊會跟兩個數字（或字母），右下角的數字 n 表示總數，右上角的數字 m 表示抽出的個數。整個符號的意思是「從 n 個人中，不計順序地抽出 m 個人的抽法數」，可以讀作「C n 抽 m」。那麼，到底什麼叫做不計順序的？我們也來舉個例子：
比如：班裡有三名同學，選出兩名代表參加年級會議有幾種選法？
哈哈，這就可以用到之前排列數的結論了！就讓剛才的第一名和第二名去參加會議。但是，對於參加會議來說，誰是第一誰是第二不重要呀！因此我把原圖的紅色和藍色都塗成了黑色，以示無區別。（如下圖）
至此，第二步中，第一種和第三種都是 A、B 的組合，完全一樣，就會有一些算重的，至於有多少個算重，取決於抽出個數 m 的全排列種數，即 m 的階乘。（如果你不太理解哪些算重了，可以仔細看看下圖中箭頭所指的對應關係）
於是，組合數公式就是在排列數公式上除以一個 m！。但實際計算中，往往不用階乘。我的記法是：從大的數字開始往小乘，乘「小的數字那麼多」個，再除以「小的數字開始往小乘，乘小的數字那麼多個」。
這個公式課內和競賽都會常常用到。我在剛學的時候把它聯想成「做值日」問題，四個同學中，選三名同學做值日就相當於選一名同學放學直接回家。
比如，班裡有 A、B、C、D 四個同學，每天要選出三個同學做值日，有幾種選法？這個問題對於學過排列組合的同學自然非常簡單了，就是 C 4 抽 3，但是，假如問一個沒學過排列組合的人，他會怎麼想呢？如果想 ABC，ACD……這種就會比較難想，不如去想它的反面：選Ａ、B、C 或 D 放學直接回家，總共就四種。這就能直觀的理解這個公式了。
這個公式對於運算 C 10 抽 8 這樣的組合數時非常有用，直接轉化成 C 10 抽 2 來計算。
這個公式課內會提到，但不要求熟練掌握，競賽會常用。可以把它聯想成「約朋友看電影」問題，看看在四個人中，想約兩個朋友有幾種約法。
如果四個人都是普通朋友，看作是相同的 A、B、C、D，那自然有 C 4 抽 2 =6 種約法。下面我們來點刺激的：假如這四個人中有一個是你女朋友，她最特殊，你會先問她來不來：
①如果她來，但你還想一共約兩個人（手動滑稽），那麼就需要在其他三個人中再約一個，有 C 3 抽 1 種方法；
②如果她不來，那你就需要在其他三個人中再約兩個，有 C 3 抽 2 種方法。
兩類相加，表示的意義就是從 4 個人中約兩個人的情況總數，即公式成立。
這個公式對於處理兩個組合數相加問題非常有用，落實在計算上，我把它總結成口訣：上面的數字取大的，底下的數字加一。
這個公式課內和競賽都會常常用到。我把它叫做抓兔子問題，想像一個籠子裡有兩隻兔子，抓出來的話有幾種抓法？
第一種方法是我去籠子裡抓，我在抓的時候就想好是抓 1 只還是抓 2 只，或是抓 0 只（即不抓）。由於先想好了這一點，就會有 C 2 抽 1 和 C 2 抽 2 這些組合數，分別表示按「抓一隻」、「抓兩隻」 分類，每類的情況數；
第二種情況是我把籠子打開，讓每隻兔子自己選擇跳出來或是不跳出來（2 種可能性），每隻兔子都是獨立的個體，所以可以用乘法原理，總共的情況數是 n 個 2 相乘，即 2 的 n 次方。
兩種方法都表示「兔子出來的情況數」，因此一樣，即公式得以解釋。
這個公式對於處理一系列「底下相同的」組合數相加的問題非常好用，大大節省計算量。而且它與集合、二項式定理等中學數學知識緊密相連，需深入理解。
這個公式一般在競賽中會出現。我把它叫做火車頭問題：抽出的一些元素，總有一個打頭的，稱為火車頭，它也是火車的一節，只不過是特殊的一節。
具體來講，比如說你要在 A、B、C、D、E 這 5 個小球中抽取 3 個小球，咱們可以按「哪個小球是第一個」分類:
第一類：A 為火車頭，那麼還需在後面四個小球中抽取兩個小球；
第二類：B 為火車頭，那麼還需在後面三個小球中抽取兩個小球；
第三類：C 為火車頭，那麼還需在後面兩個小球中抽取兩個小球。
至於 D 或 E 開頭的，就不足「三節車廂」了，故不計算。我們把之前說的三類加起來，就直觀地理解了這個公式。
這個公式對於處理一系列「上面相同的」組合數相加的問題非常好用，大大節省計算量。記憶方法是：和為上面下面都加一。
這個公式是一個相加和相乘結合的公式，看似複雜，但並不難理解。我對它的理解是：可以想像成班裡選幾名學生，分男女選和不分男女選情況數一樣。
比如說，咱們假設班裡有 7 名學生，4 男 3 女。如果選出三個人參加競賽有幾種選法？首先容易想到的是 C 7 抽 3 =35。沒錯，不過咱們還有一個思路，就是按「男女各多少人」分類討論。
第一類：0 男 3 女，分別抽取，再乘起來。
第二類：1 男 2 女，分別抽取，再乘起來。
第三類：2 男 1 女，分別抽取，再乘起來。
第四類：3 男 0 女，分別抽取，再乘起來。
這四類是互不重疊的，可用加法原理將其相加。原公式就得以直觀理解。
好啦，上面 5 個公式都可以代數證明，也可按照我舉得例子通俗理解，如果這二者你都很清楚，那排列組合就能融會貫通了。
本文詳細講了五個常用排列組合公式的理解。那麼，如何把這些公式用在 IB 數學的難題上，我會在暑假班的課上詳細講解，歡迎了解詳情：
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