數學題該怎麼刷？

提起數學學習，很多機構和家長的一致提倡：刷題。題確實該刷，不刷題學不好數學。可題怎麼刷？這是門學問。數學題是刷的越快越好、越多越好嗎？

之前有個家長跟我提到，孩子看到題，秒給答案，原因在於之前見過同樣的題。但將問題稍作變化後，孩子就傻眼了。典型的只學招式，不修內功。我們經常會用「走的太快，靈魂都跟不上了」來自嘲現在過快的生活節奏。我把這句話稍微改一下，也適用當下的很多刷題現狀：題刷的太快，思維都跟不上了。

題是刷不完的，今天我就借前天發的一道面積問題來聊一聊如何把有限的時間投入到刷無限的題中，怎樣讓題刷得更有效果。

前天的幾何問題

如圖所示，求長方形的面積。

如果你等不及想知道答案，可以直接跳到後面的正確答案。不過，我個人還是建議你能完整地看完，因為前面的內容比正確答案更有價值。

識別問題

刷題要點一：識別問題，確定問題所屬的認知分類，進而可以有的放矢。

上面的這個問題顯然屬於平面幾何的面積問題。在求面積問題的武器庫裡，割補、平移、旋轉、容斥、比例這些武器都可以派上用途。

不過，這個問題乍一看很簡單，很多讀者也是這麼認為的，我做了個投票，大家的投票結果是這樣的：80%的人認為小學生就可以求解。這說明大家雖然識別出了問題大類，但很多都直接聯接了錯誤的套路。實際上，這裡面包含較為複雜的比例問題，要建立的方程是一個二次方程。

錯在哪裡？

刷題要點二：相比於直接尋求正確答案，我更喜歡分析錯誤答案背後的思路，理清楚為什麼錯。沒有無緣無故的成功，也沒有無緣無故的失敗。成功一定是建立在對失敗的經驗總結之上的。

關於該問題，大家給出了許多不同的答案。下面我先給出一些典型的錯誤答案。

錯誤答案一：22

如下圖，容易看到，實際上答22的沒有包含右下角的小長方形面積。

那什麼情況22是正確答案呢？圖改成下面這樣就是22了，很多人答22也就是聯想到了這個既往套路。

刷題要點三：通過修改問題，舉一而反三。刷題刷成出題人，基本就無往而不勝了。

錯誤答案二：24

如圖，左上角的這個長方形的面積顯然小於16，因此總面積小於24才對。

那什麼情況長方形的面積是24呢？改成下面這兩個圖形，答案就是24了。

1

2

錯誤答案三：23

如果是23，那麼右下角的小長方形面積應該是1，也就是說三角形PGQ和三角形BFQ的面積要相等，從而BF=FC。這個圖看上去顯然不是那麼回事。

什麼情況下答案是23呢？大家自行腦補。

錯誤答案四：(8+3+3/11)×2

這個答案其實已經在往正確的道路上邁出了一步，它的思路如下：BF:FC等於三角形ABP與DEP的面積之比，從而三角形BFE和三角形EFC的面積之比是8：3，因此三角形EFC的面積為3/11。整個長方形的面積是ABP+DEP+EFC的兩倍。

但這個思路第一步就錯了，因為ABP和DEP不是等底的三角形，高之比不等於面積之比。根據比例關係，應該有BF:FC<8:3才對。

一題多解

分析完了典型的錯誤，是時候尋求正確答案了。很多人由於學過一些解題套路，看到問題就給出答案，然後就到此為止了。為什麼不思考一下有沒有其它的方法呢？

刷題要點四：不滿足於一種解法。一題多解，能有效提升刷題效果。

正確解法一

如果用符號變量來表示各邊的長度，建立變量之間的方程關係，那最後應該可以通過方程求解最後的面積。這個思路是學過代數的人很容易想到的。

不過這種解法，需要比較高超的方程變換技巧以及整體思維，對學生的要求其實比較高。

正確解法二

前面錯誤的做法裡，多次出現了對圖形進行水平和垂直的分割，將整個長方形分成若干個小長方形的做法。按照這一思路，我們可以把圖形進行如下的分割，得到下面的解法。

這種做法，只用了一個未知數，巧妙地運用了三角形和長方形的關係，以及比例關係，建立了一個只含有未知數x的方程，可以算得一種巧妙的解法。

正確解法三

前面的第四種錯誤的做法裡，錯在BF:FC=8:3，實際上，這個比例我們暫時不知道，不妨設BF:FC=x, 我們發現可以把其它的很多未知量通過這個比例表示出來。根據這一思路，我們可以得到下面的解法。

這一做法，實際上是從之前第四種錯誤的思路糾正而來。另一種方法是設三角形EFC的面積為x, 從而BFE的面積為1-x，得到BF:FC=(1-x):x。這個做法本質上與這個解法是一樣的。

刷題要點五：善於對比分析各類解法，理解各類方法的共性與不同、優點與局限。

最後再說一點，切忌刷許多重複的題，也不要一下就刷遠超自己能力範圍的題。

刷題要點六：不在同一水平上重複，要刷自己踮踮腳能夠得著的題，螺旋上升。

總結

總結一下，刷題絕不是簡單的重複，也不是簡單的給出正確答案就了事。刷題是識別問題、分析錯誤、總結經驗教訓、給出多種解決辦法、並分析各類方法優缺點的過程。這樣的刷題，才能起到刷一題以當十題的作用。

如果你有幼兒園到初中的學齡娃，想加入數學討論群的，可以留言並告知年級。

作者簡介：昍爸，中科院計算機博士，曾獲初中和高中全國數學奧林匹克聯賽一等獎，江蘇賽區第一名，高考數學滿分。現為大學計算機專業教授，平時注重提升孩子的數學和計算思維，開設有微信公眾號xuanbamath。