「我說的是假話」看似平淡無奇，但是在數學上卻稱得上是一個悖論。因為如果這句話是真的，按照字面意思它就是一句假話；如果這句話是假的，那麼就會得到和字面意思相反的結論：這是一句真話。悖論就是一個論述卻可以得到兩個互相矛盾的結論。
英國數學家羅素提出了與之相似的著名悖論：理髮師悖論。這也是第三次數學危機的導火索。具體怎麼回事？點開視頻看看吧！
以下為我的科普書《十分鐘智商運動》中相關內容的文章。
1理髮師悖論
從前有一個村子，村子裡只有一名理髮師。這個理髮師有點怪，他的理髮店門口立了一個牌子，上面寫著：我給且只給自己不刮鬍子的人刮鬍子。
也就是說，村子裡的人分為兩類，第一類人會給自己刮鬍子，第二類人從不給自己刮鬍子。而這名理髮師不給第一類人刮鬍子，只給第二類人刮鬍子。
有一天一名顧客來到店裡看到了這塊牌子，他就問理髮師：「你給自己刮鬍子嗎？」
理髮師突然發現自己非常尷尬。因為他如果回答給自己刮鬍子，他就是第一類人，按照他的規矩就不應該給自己刮鬍子；如果他不給自己刮鬍子，他就是第二類人，按照規矩他又應該給自己刮鬍子。
這個悖論是羅素提出的，叫做羅素悖論，或者叫理髮師悖論。
2羅素悖論與集合的關係
當然，這只是羅素悖論的通俗說法。羅素悖論是關於數學中集合論的一個矛盾而提出的。
什麼是集合呢？所謂集合，是由某些確定的元素構成的整體。例如：
A={1,2,3}是一個集合，裡面有三個元素，分別是1、2、3；
B={x|x是偶數}是一個集合，包含所有的偶數，有無限多個元素；
C={x|x是拖拉機}是一個集合，任何一臺拖拉機都是這個集合的元素。
...
但是集合的元素必須是確定的。所以有些概念不能構成集合，例如」美女的集合」就是一種錯誤的說法，因為一個人美不美會因為其他人的感受而異，不具有確定性。
元素與集合的關係有「屬於∈」和「不屬於∉」兩種，比如「1」這個元素，它是集合A的元素，但是不是集合B的元素，寫作1∈A,1∉B
明白了這些，我們就可以討論羅素悖論的數學表達了。羅素說：設集合S是所有不屬於自身的集合構成的集合，即S={x|x∉S}。那麼，S是否屬於自身呢？
若S屬於自身，那麼S就不滿足集合規定的元素性質，它不應該屬於自身S；
若S不屬於自身，那麼S就滿足集合所規定的元素性質，它應該屬於自身S。
這樣一來，這個集合就得到了自相矛盾的結果，與理髮師悖論如出一轍。
羅素是一個哲學家、邏輯學家、教育學家和文學家，並且獲得了諾貝爾文學獎。羅素為什麼要提出這個數學悖論呢？
二十世紀初，數學界籠罩在一片喜悅祥和的氣氛之中。法國大數學家彭加萊在1900年的國際數學家大會上公開宣稱：數學的嚴格性，現在看來可以說是實現了。他說這句話是有依據的，那就是德國數學家康託爾所創立的集合論。
2000多年以來，人類一直沒有弄清楚無窮的概念。比如全體正整數1、2、3、4…和全體正偶數2、4、6、8…，都是無窮多個，那麼它們誰更多呢？
也許有人會說：那一定是正整數多啊！多了3、5、7…這些奇數！但是實際上兩個無窮大這樣比較是不行的。
康託爾利用集合論向人類指出：如果兩個集合中的元素可以建立一一對應的關係，那麼這兩個集合的元素個數就是一樣多的。比如正整數集合就可以和正偶數集合建立一一對應關係：每個整數的兩倍剛好對應一個偶數，即x∈{整數}，y∈{偶數}，y=2x，所以正整數集合和正偶數集合元素個數是一樣多的。
集合論為數學奠定了堅實的基礎，許多概念不清的問題利用集合論得到了完美的解釋。數學家希爾伯特度讚譽康託爾的集合論是「數學天才最優秀的作品」，是「人類純粹智力活動的最高成就之一」。
但是，從集合論誕生的那一天起，針對集合論的詰難和各種悖論的出現就沒有停止過。尤其以1902年羅素悖論最為有名。數學家們只享受了集合論帶來的短暫的祥和，就又陷入了一種無法解決的危機之中，這就是第三次數學危機。因為集合論已經成為了現代數學的基礎，滲透到數學的各個分支之中，因此集合論的這個悖論才會引發這麼多的關注。
由於這幾個悖論遲遲得不到解決，康託爾承受著巨大的精神壓力，最終精神失常，死在了哈勒大學精神病院裡。時至今日，第三次數學危機依然沒有完美解決。數學家們只是通過人為添加一些限制條件以迴避悖論的出現。
康託爾作為最偉大的數學家之一，會永遠被人類銘記。
李永樂老師：北京大學物理與經濟雙學士，清華大學電子工程碩士；北京市中學物理教師/物理競賽教練。從教十年，培養清華北大學生200餘人，國際奧賽、亞洲奧賽、國家奧賽金牌十餘名。
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