知識點：
1. 定義：（其中P為橢圓上一點，焦點）
2. 橢圓的標準方程：
3. 橢圓的性質
（1）
（2）軸為橢圓對稱軸，原點為對稱中心
（3）頂點（）（）
（4）離心率
視頻教學：
練習：
1.(多選題)已知在平面直角坐標系中,點A(-3,0),B(3,0),點P為一動點,且|PA|+|PB|=2a(a≥0),給出下列說法中正確的說法是 ( )
A.當a=2時,點P的軌跡不存在
B.當a=4時,點P的軌跡是橢圓,且焦距為3
C.當a=4時,點P的軌跡是橢圓,且焦距為6
D.當a=3時,點P的軌跡是以AB為直徑的圓
2.已知橢圓過點P和點Q,則此橢圓的標準方程是 ( )
A.+x2=1 B.+y2=1或x2+=1
C.+y2=1 D.以上都不對
3.若曲線ax2+by2=1為焦點在x軸上的橢圓,則實數a,b滿足 ( )
A.a2>b2 B.<< span="">
C.0<a<b< span=""> D.0</a<b<>
4.橢圓5x2+ky2=5的一個焦點是(0,2),那麼k= ( )
A.-1 B.1 C. D.-
二、填空題(每小題5分,共10分)
5.橢圓x2+ky2=1的焦距為,則k= .
6.已知橢圓中心在坐標原點,焦點在x軸上,橢圓與x軸的一個交點到兩焦點的距離分別為3和1,則橢圓的標準方程為 .
例1、求適合下列條件的標準方程
（1）兩個焦點坐標分別是（，0），（3，0）橢圓經過點（5，0）
（2）橢圓兩焦點間的距離為16，且橢圓上某一點到兩焦點的距離分別等於9和15，求橢圓的標準方程。
（3）已知橢圓的中心在原點，焦點在坐標軸上，且橢圓經過點，，求橢圓的方程。
解析：（1）∵ 橢圓的焦點在軸上 ∴ 設它的標準方程為（）
∵ ， ∴ ，
∴ ∴ 所求橢圓的方程為
（2）由題意：， ∴
又焦點在軸或軸上 ∴ 或
（3）∵ 橢圓的中心在原點，焦點在坐標軸上
∴ 可設橢圓的方程為
∵ 橢圓過 ∴ ∴
∴ 方程為
例2、方程表示焦點在軸上的橢圓，求實數的取值範圍。
解析： ∴ ∴
例3、方程表示何種曲線？
解析：（1）時，是平行於軸的兩條平行直線
（2）時，，方程，表示焦點在軸上的橢圓。
（3）時，表示圓。
（4）時，表示焦點在軸上的橢圓
（5）時，表示平行於軸的兩條平行直線
例4、為兩個頂點坐標分別是B（0，6）和C（0，），另兩邊AB、AC的斜率的乘積是，求頂點A的軌跡方程。
解析：設頂點A的坐標為（） 由題意得
∴ 頂點A的軌跡方程為（）
例5、已知橢圓（），短軸的一個端點與兩焦點連線構成一個正三角形且焦點到橢圓上的點的最短距離為，求此橢圓的方程。
解析：設P為橢圓上任一點，兩個焦點為，其中短軸的一個端點為B（）
∵ 為正三角形 ∴ ∴
∵ 焦點到橢圓上的點的最短距離為
∴
把代入得， ∴
∴
例6、焦點分別為（0，）和（0，）的橢圓截直線所得橢圓的弦的中點的橫坐標為，求此橢圓方程。
解析：設 且（1）
∴
∵ ∴ ∴（2）
由（1）（2）：， ∴
例7、P是橢圓上的一點，F1、F2是橢圓的兩個焦點，連結、
（1）的最小值是多少？
（2）當為鈍角時，點P的橫坐標取值範圍是什麼？
解析：（1）
（2）
∴ ∴ ∴
∴
例8、已知橢圓的焦點是，P為橢圓上一點，且是和的等差中項。
（1）求橢圓的方程
（2）若點P在第三象限，且，求
解析：（1）由題設 ∴
又 ∴ ∴
（2）設，則
由正弦定理得：
∴ （等比定理）
∴ ∴
∴ ∴
∴
課件：
教案：
課程基本信息
課題
2.5.1 橢圓的標準方程
教科書
書名：普通高中教科書數學選擇性必修第一冊（B版）
出版社：人民教育出版社 出版日期：2020年8月
教學目標
教學目標：經歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，並在此基礎上學習橢圓的定義，掌握橢圓標準方程的兩種形式及其推導過程
教學重點：橢圓的定義及橢圓標準方程
教學難點：橢圓標準方程的建立和推導
教學過程
時間
教學環節
主要師生活動
一、從情境出發，提出問題，得到定義
問題一：在日常生活與學習中，可以見到很多有關橢圓的形象，你都能想到些什麼樣的實例呢？
問題二：我們還知道，圓是平面內到圓心的距離等於半徑的點的集合，圓上的點的特徵是：任意一點到圓心的距離都等於半徑，那麼，你能說說到底什麼是橢圓嗎？橢圓上的任意一點的特徵是什麼？
問題三：橢圓給人的印象是「壓扁的圓」，但這不是數學上橢圓的定義，數學上我們是如何定義橢圓的呢？
橢圓的定義：
事實上：如果，是平面內的兩個定點，是一個常數，且，則平面內滿足的動點的軌跡稱為橢圓，其中，兩個定點，稱為橢圓的焦點，兩個焦點之間的距離稱為橢圓的焦距.
另外，橢圓可以通過用平面截圓錐面得到，因此橢圓是一種圓錐曲線.
二、從生活出發，理解定義，得到橢圓
問題四：你能利用日常生活中的物品作出一個橢圓嗎？
在平的畫板上取兩個定點和，在這兩個點上都釘上一個圖釘，將一條長度大於的細繩的兩端固定在兩個圖釘上，用筆尖把細繩拉緊，並使筆尖在畫板上慢慢移動一周，則畫出的圖形是一個橢圓.
因此，我們可以得到：橢圓上的點的特徵是：任意一點到橢圓的兩個焦點的距離之和都等於「繩長」.
問題五：通過剛才作橢圓的方法驗證了橢圓定義中的點一定存在而且有無數多個，那麼，在數學上能不能證明這一點呢？
三、從實例出發，求出橢圓，得到方程
問題六：設，是平面內的兩個定點，，證明平面上滿足的動點有無數多個，並求出的軌跡方程.
不難想到，我們可以通過坐標法來探討上述滿足條件的點是否存在.
坐標法求曲線方程的一般步驟：
（1）設動點坐標（如果沒有坐標系需要先建系）；
（2）寫出幾何條件，並用坐標表示；
（3）化簡併檢驗.
在建立坐標系時應遵循簡單和優化的原則，如使關鍵點的坐標、關鍵幾何量（距離、直線斜率等）的表達簡單化，充分利用圖形的特徵.
解：
設動點坐標：
以所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系，設橢圓的焦點分別為，.
設的坐標，
寫出幾何條件：
因為，
用坐標表示幾何條件：
而且，，
所以. ①
化簡併檢驗：
當時，，
即，
此時，由①得
，
所以，
所以，
即， ②
①+②整理得：， ③
將③式平方，再整理得. ④
當時，由①可知，即，此時④也成立.
由上，可以驗證，如果的坐標滿足④式，則可得.——方程的曲線
同時，方程④有無窮多組實數解，這說明坐標滿足的點有無數多個，而且的軌跡方程為④式.——曲線的方程
四、特例一般化，求出橢圓的標準方程
問題七：一般地，如果橢圓的焦點為和，焦距為，而且橢圓上的動點滿足，其中，那麼我們能得到一個什麼樣的橢圓方程呢？
建系設點：
以所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系.此時，橢圓的焦點分別為，.
設的坐標是橢圓上任意一點，
列出條件：
則，
代入坐標：
因為，，
所以. ①
整理化簡：
當時，，
即
此時，由①得
，
所以，
所以，
即， ②
①+②整理得：， ③
將③式平方，再整理得. ④
當時，由①可知，即，此時④也成立.
因為，所以，設，且，則④式可化為
⑤
可以驗證，方程⑤就是橢圓的方程，通常稱為焦點在軸上的橢圓的標準方程.
五、類比研究，焦點在軸上的橢圓的標準方程
問題八：如果橢圓的焦點為和，焦距為，而且橢圓上的動點滿足
，其中，以所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系.此時，
（1）橢圓的焦點坐標分別是什麼？
（2）能否類比焦點在軸上的橢圓的標準方程，得到此時橢圓的方程呢？
解：（1）此時，橢圓的焦點分別為，.
（2）設的坐標是橢圓上任意一點，則，
因為，，
所以. ①
對比焦點在軸上對應的方程
②
我們可以發現，方程①實際上就是方程②中與互換得到的，因此我們也把焦點在軸上的橢圓標準方程中的與互換，就可以得到焦點在軸上的橢圓的標準方程：
六、課堂小結，深化定義和標準方程
橢圓的定義
如果，是平面內的兩個定點，是一個常數，且，則平面內滿足的動點的軌跡稱為橢圓
焦點所在坐標軸
軸
軸
焦點坐標
，
，
標準方程
的關係
七、布置作業
人教社B版課本P128練習A
1.設橢圓的兩個焦點，，且為橢圓上一點，求的值.
2.設是橢圓上一點，，是橢圓的焦點，如果點到焦點的距離為，那麼點到焦點的距離是多少？
高中地理(必修+選修)微課精講+考點匯總
圖文來自網絡，版權歸原作者，如有不妥，告知即刪
點擊閱讀原文下載全冊PPT課件教案習題整套資料