從印度數學看神奇妙算
陳 少 旭
自然數的四則運算是算術中最基本的數學運算，也是我國小學數學的主要內容。在我國，兩位數以上的四則運算，多以列豎式從低位到高位的運算順序來進行，這也是很多國家最常用的運算方法。但自然數的運算中也有其無窮的奧妙，有很多運算算法巧妙，運算速度快，甚至無需列豎式，直接口算即可。如印度數學的計算體系中就包含著很多巧妙的算法。
古印度是世界四大文明古國之一，從公元前2500年至公元1500年之間創造了燦爛的印度河文明。印度數學的起源也和其它古老民族的數學起源一樣，是在生產實際需要的基礎上產生的。但是，古代印度人有著超人的數學天賦，他們發明了現今世界通用的阿拉伯數字，還首先發現使用了數字「0」，構建了比較完整的算術運算體系，使算術運算變得簡單明了，大大提高了運算效率。與此同時，印度人還創造了從高位到低位的快速運算方法和一些特殊的運算技巧。如計算75×75=? ，123×11=？等，你能瞬間算出這道數學題的答案嗎？了解了印度數學的計算方法，2秒鐘就可以給出答案。也許你會驚訝，「這是數學還是魔術？」但是，真的就有這麼神奇！事實上，至今印度人的數學能力在全世界都是首屈一指的。
印度的數學來源於印度古代的《吠陀算經》，所以又稱吠陀數學。印度數學家在《吠陀算經》的基礎上重構了數學計算體系，並將其傳播到世界各地。吠陀數學最大的特點是快速而準確，比一般的計算方法快10～15倍，其結構連貫、完美、準確且容易計算。理解了吠陀數學的運算法則，便可以創造出自己的解題方法。
本文重點以兩位數的運算為例來闡述印度數學的算法，可謂是吠陀數學的入門篇。如果你能把這些簡單又神奇的法則熟記於心，這將會成為以後進行熟練運算的基礎，也可能會使你成為最酷的數學達人！
第一類：速算加法。我們通常的加法運算是從右側個位數加起，逢十進一，這種算法較慢。而印度數學是從左側算起，不用考慮進位，大大提高了運算的速度與準確度。
例1： 計算87+65
計算方法：首先十位加十位，即8+6=14，
然後個位加個位，7+5=12，
所得的結果再錯位相加即得。即4在十位，2在個位，其和為152。
用豎式直觀表示如下：
8 + 6 = 1 4
7 + 5 = 1 2
1 5 2
或87+65 = (80+60)+（7+5）=140+12=152。
例2 467+358
4+3=7，6+5=11，7+8=15，7在百位，1在十位，5在個位，其和為825；
或467+358=467+300+50+8=767+50+8=817+8=825。
例3 補數運算法。能將一個數湊成整十、整百、整千之類的數的數，稱為補數。如2就是98的補數，和是100。6是994的補數，和是1000。運用補數是印度數學運算的一個重要秘訣，可以提高運算的速度和準確率。
如 98+67=（98+2）+65=100+65=165；
295+468=（295+5）+463=763。
第二類：速算減法。主要是需要借位的減法速算，其算法是：
①將被減數分解成兩部分：整十、整百或整千（小於被減數）和餘下的數（餘數）；
②將減數也分成兩部分：整十倍的數（大於減數）和補數；
③將前兩步的整十倍數相減，將餘數和補數相加，把這兩個結果相加即得。
例1 54-28
被減數分成50和4，減數分成30和2，50-30=20，4+2=6，
結果是：20+6=26，
即54-28=26。
例2 92-54=（90-60）+（2+6）=38；
例3 713-396=（700-400）+（13+4）=317。
第三類：速算兩位數的乘法。
類型1：個位數是5的兩位數的平方。
如計算352，只需用十位數3乘以比它大1的數4得12，作為最高位的兩位數，然後並上個位數5的平方25既得其結果，
即352=1225。
又如計算752，7×8=56,5×5=25，
所以752=5625.
同樣，952=9025.
原理：設個位數是5的兩位數為10a+5，（a是1——9的自然數）
則（10a+5）2=100a2+100a+52=100a（a+1）+25。
推廣：1052,10×11=110，所以1052=11025；
1152=？因為11×12=132，1152=13225
下面我們來看大家都十分熟悉的一道有名的算式：
1+2+3+4+5+……+100=5050
但是對於算式
我們也有一個著名的關係式：
而對於50502，我們就可以用以上簡便的方法得到。用50×51=2550,502=2500，
所以，50502=25502500.
即
類型2：十位數字相同、個位數字之和為10的兩位數的乘法。
如23×27，十位數字都是2，個位數字之和是3+7=10，其計算方法是：十位數字乘以比它大1的數，即2×3=6，作為最高位數字，然後並上個位數字相乘所得的積，即3×7=21，即為所求的積，也就是23×27=621；
又如42×48，4×5=20,2×8=16，所以42×48=2016；
再比如74×76，7×8=56，4×6=24，所以，74×76=5624。
同樣，93×97=9021，91×99=9009。
原理：設滿足條件的兩個兩位數分別為10a+b,10a+(10-b),
則，（10a+b）【10a+(10-b)】
=100a2+10ab+100a-10ab+10b-b2
=100a(a+1)+b(10-b)
類型3：任意兩位數的平方（除去個位數是5的）。
分兩類來處理，一類是個位數小於5的，被10除所得的餘數就稱為「餘數」，如34的餘數為4。另一類是個位數大於5的，其個位數加幾後就能被10整除的數稱為「補數」，如47的補數是3.具體計算方法是：
（1） 情形1：個位數小於5的，如342=？
其算法是，本數加餘數，乘以本數的整十，再加上餘數的平方既得所求的結果。
即，342=（34+餘數）×30（整十的數）+42（個位數的平方）=1156；
又如：532=（53+3）×50+32=2809，
722=（72+2）×70+22=5184.
（2） 情形2：個位數大於5的，如262
其算法是，本數減補數，乘以本數加補數的整十，再加上補數的平方既得。
即，262=（26-補數）×30（補數後的整十）+42（補數的平方）=676；
又如：482=（48-2）×50+22=2304；
872=（87-3）×90+32=7569.
類型4：兩位數的十位數字相同，個位數字任意。
如：23×28
其算法是：第一個數加上第二個數的個位數（交換兩數的位置也可），乘以兩位數的整十，再加上兩數的個位數相乘，其結果便是所求的積。
即，23×28=（23+8）×20+3×8=620+24=644。
再看幾例：
43×49=（43+9）×40+3×9=2107，
或43×49=（49+3）×40+3×9=2107；
74×73=（74+3）×70+3×4=5402。
類型5：任意數和11相乘
口訣：「兩邊一拉，鄰位相加」。即把和11相乘的數的首位和末位數字拆開，中間留出若干空位；然後把這個數各個數位上相鄰的數字依次相加；再把步驟2求出的和依次填寫在步驟1留出的空位上。如果相鄰數字之和大於10，就向前進一位。
例1：12×11=？
把和11相乘的數的首位和末位數字拉開，中間留出一個空位，即1（）2，然後把這個數各個數位上相鄰的數字相加，即1+2=3，把3填寫在步驟1留出的空位上，即得132，也就是12×11=132.
也有人把這種算法總結為「兩邊一拉，中間相加」。
例2：58×11=?
把58拉開，留出一個空位，即5（）8，而5+8=13，括號內填3,1向前進一位，得58×11=638。
推廣1：213×11=？
把和213的首位和末位數字拉開，中間留出2個空位，即2（）（）3，再把這個數各個數位上的數字依次相加，即2+1=3；1+3=4，把求出的和依次填寫在上面留出的空位上，即得2343，亦即213×11=2343。
由上幾例可以看出，兩位數乘11，兩邊拉開後中間空一位，三位數拉開後空兩位，以此類推，四位數拉開後空三位等等。
例3：72586×11=？
把和11相乘的數的首位和末位數字拉開，中間空除四位，即7（）（）（）（）6，把這個數各個數位上的數字依次相加，即7+2=9；2+5=7；5+8=13；8+6=14，把求出的和依次填寫在留出的空位上，超過10的向上進一位，即得：798446，也就是72586×11=798446。
類型6：個位是5的數與偶數相乘：
解法步驟：
1、偶數除以2或4或8；
2、個位是5的數相應地乘以2或4或8；
3、將前兩步的結果相乘。
例：22×15=？
第一步，22除以2，得22÷2=11；
第二步，用2×15=30；
第三步，將前兩步的結果相乘。
即11×30=330。
例如：24×25=6×4×25=6×100=600；
36×35=9×2×2×35=9×2×70=2×630=1260。
推廣：48×125=6×8×125=6×1000=6000；
36×225=9×4×225=9×900=8100。
類型7：兩個數的平均數是整十的兩位數相乘。
1、找到被乘數和乘數的平均數，也就是那個整十，並求這個數的平方；
2、求被乘數（或乘數）與平均數的差，並求差的平方；
3、將前兩步的結果相減即得。
例如：79×81,79與81的平均數是80,80的平方是6400，81與80的差是1,1的平方還是1，故79×81=6400-1=6399；
又如：38×42=（40+2）（40-2）=402-22=1596；
推廣：95×105=（100-5）（100+5）=1002-52=9975；
998×1002=10002-22=999996。
上面的運算其實就是初中平方差公式的運用，
即（a+b）（a-b）=a2-b2.
類型8：至少有一個乘數接近100的兩位數乘法：
解法步驟：
1、以100為基數，分別找到被乘數和乘數的補數；
2、用被乘數減去乘數的補數（或者乘數減去被乘數的補數）把差寫下來；
3、兩個補數相乘；
4、將步驟3的得數直接寫在步驟2的得數後面即可，如超過100可向前進一位。
例：78×97=？
分別找到被乘數和乘數關於100的補數，即100-78=22，100-97=3；
用被乘數減去乘數的補數（或者乘數減去被乘數的補數），即78-3=75，然後兩個補數相乘，即22×3=66；將66直接寫在75的後面即可，即7566，也就是78×97=7566。
又如：64×89，64（被乘數）-11（89的補數）=53，補數相乘36×11=396，則乘積結果是5696；
26×98，由於26-2=24，74×2=148，所以26×98=2548。
類型9：100 ~ 110之間的整數的乘法：
解法步驟：
1、被乘數加上乘數個位上的數字；
2、個位上的數字相乘；
3、將步驟2的得數直接寫在步驟1的得數後面。
例：104×107=？
被乘數加上乘數個位上的數字，即104+7=111；個位上的數字相乘，4×7=28；將兩數並寫，即得11128，也就是104×107=11128。
又如：102×108，102+8=110,2×8=16，所以，102×108=11016；
107×107，107+7=114,7×7=49，107×107=11449。
下面讓我們來欣賞幾組特殊的運算：
1、
11×11=121
111×111=12321
1111×1111=1234321
11111×11111=123454321
… …
111111111×111111111=12345678987654321
上式的特點是，左邊是只有1組成的數字的平方，右邊的結果是「迴文數」。
2、
12345679×9=111111111
12345679×18=222222222
12345679×27=333333333
12345679×36=444444444
… …
12345679×81=999999999
上式左面的被乘數12345679叫做「缺8數」，這個「缺8數」有許多讓人驚訝的特點，如上面用9的倍數與它相乘，乘積竟會是由同一個數字組成的，人們把這叫做「清一色」。
3、你知道123456789通過什麼樣的運算就可以到過來嗎？
即變為987654321.請看下面的算式：
123456789×8+9=987654321.
神奇的運算還有很多，我們來看兩則小故事。
印度速算超人拉馬努金
斯裡尼瓦瑟·拉馬努金（泰米爾語：1887年12月22日－1920年4月26日）是印度歷史上非常璀璨耀眼的、最著名的數學家之一。他沒受過正規的高等數學教育，但沉迷於數論，尤愛牽涉π、質數等數學常數的求和公式，以及整數分拆。慣以直覺跳躍導出公式，他留下的那些沒有證明的公式，引發了後來的大量研究。
拉馬努金生於印度東南部泰米爾納德邦的埃羅德，和大文豪泰戈爾是同鄉。在1898年十歲的時候，進入貢伯戈訥姆一所中學，在那裡他似乎第一次接觸到正規的數學。在11歲時，他已經掌握了住在他家的房客的數學知識，他們是政府大學的學生，到13歲，他就掌握了借來的高等三角學的書裡的知識，他的天才在14歲時開始顯露。
1913年，拉馬努金髮了一長串複雜的定理給三個劍橋的學術界著名人士貝克（H. F. Baker）、霍布森（E. W. Hobson）和哈代（G. H. Hardy），但只有三一學院的院士英國著名數學家哈代注意到了拉馬努金定理中所展示的天才。雖然哈代是當時著名的數學家，而且是拉馬努金所寫的眾多定理中幾個領域中的專家，但他還是說很多定理「完全打敗了我」，「我從沒見過任何像這樣的東西。」他還說：「只要看它們一眼就知道只有第一流的數學家才能寫下它們。」哈代說他自己對數學最偉大的貢獻就是發現了拉馬努金，並把拉馬努金的天才比作至少和數學巨人歐拉和雅可比相當。拉馬努金後來也成為劍橋三一學院的院士，並得到了科學界最高級別的榮譽，英國皇家學會會員（FRS）。
拉馬努金是印度在過去一千年中所出的非常偉大的數學家。他的直覺的跳躍甚至令今天的數學家也感到迷惑，他的定理被應用到很多很難想像到的眾多領域。
一次，拉馬努金身患病重，哈代前往探望。哈代說：「我乘計程車來，車牌號碼是1729，這個數真沒趣，希望不是不祥之兆。」拉馬努金答道：「不，那是個很有趣的數字，可以用兩個立方之和來表達，而且只有兩種這樣的表達方式，且用這種方式表示的數之中，1729是最小的，即1729 =13+123 = 93+103。」後來這類數被稱為的士數。拉馬努金超強的心算能力，令哈代大為吃驚，他驚嘆道：「每個自然數都是拉馬努金的朋友。」
印度人驚人的數學才能得益於這個民族對數學的特別領悟和印度吠陀數學神奇的計算方法。
再來看一個有趣的故事。
數學魔女沙貢塔娜
1981年的一個夏日，在印度舉行了一場心算比賽。一位教授走上講臺，簡短的致詞後，在黑板上寫下了一個201位的大數，心算的要求是：在短時間內算出這個數字的23次方根。挑戰者是37歲的沙貢塔娜，她是印度的一位普通婦女，沙貢塔娜上臺了，當天，她要以驚人的心算能力，與一臺先進的電子計算機展開競賽。
教授用4分鐘寫完這個大數。然後，沙貢塔娜便開始心算。與此同時，電子計算機也進行工作。沙貢塔娜僅用50秒完成了心算題目，向觀眾報出了正確的答案。而計算機恰恰相反，為了算出得數，它必須輸入兩萬多條指令，才能開始計算，時間自然比沙貢塔娜慢得多。
大廳中爆發出暴風雨般的掌聲和熱烈的歡呼聲，人們祝賀沙貢塔娜所取得的成功。這一奇聞，曾在國際上引起了轟動，沙貢塔娜被稱為「數學魔術家」。
此文轉自《愛上數學》（陳少旭 著 黃河傳媒陽光出版社）
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