數學漫步：直覺下的微分和積分

積分學和微分學是一枚硬幣的兩面。然而，積分似乎比微分更複雜，因為它涉及到引入數學符號和抽象概念。然而，這些概念本身是非常直觀的，並且允許將複雜的概念轉換為簡單的代數操作。這篇文章試圖提供積分微積分的一個直觀的觀點，並詳細說明積分的用途。

經典的積分其實並不是計算曲線下的面積。在中學，我們都學會了如何計算各種規則和不規則多邊形的面積。我們還學習了求圓和橢圓面積的公式。但是如何計算其他曲線的面積呢?如何求曲線函數下的面積，比如下面這個?

你會發現，到目前為止你所學到的方法都無法做到這一點。這就是強大的積分學發揮作用的地方。然而，事實證明，計算這個區域並不像看起來那麼困難，而且這個過程是基於更熟悉的方法。

那麼，我們如何求面積呢?如果我們把這個區域劃分成更標準的形狀——比如矩形。我們知道如何求一個矩形的面積——它就是長x寬。我們把這個區域分成等寬的矩形，正好在曲線下面。這看起來像

這是我們對4個矩形的估計。我們可以計算每個矩形的面積，因為我們知道寬度(端點a和端點b之間的距離除以4)和高度(在右端點處的函數值)。現在，這顯然不是一個很好的估計-看看所有的空間。但是如果我們用10個矩形而不是4個，會發生什麼呢?接著1000個矩形，100000個矩形，如果我們讓每個矩形的寬度都趨近於0而矩形的數量也越來越趨近於無窮，會發生什麼呢?

然後我們就得到了確切的面積。這很直觀:隨著矩形的寬度變得越來越小，單個矩形與曲線的擬合效果也越來越好;它們的面積和收斂於曲線和x軸之間的真實面積。這裡有一個很好的動畫來說明這一點:

通過對其進行數學描述，可以使這一觀點更加嚴謹:

這個公式一開始看起來很嚇人，但我們所做的只是把它寫成數學符號。讓我們從裡到外看一遍，在求和裡面，我們只是通過將函數在右端點的值乘以矩形的寬度來計算矩形的面積，就像前面描述的那樣。這個寬度是由端點的差除以分割的次數給出的(這確保了每個寬度都是相等的)。當矩形的數量趨於無窮時，可以通過對所有矩形的面積求和來計算實際的積分。

然而，這隻描述了一種積分。結果是，您不需要確保矩形具有相同的寬度，也不需要它們具有與右端點相等的高度。這個公式的更一般的表示如下(這是你更可能看到的)，使用標準的微積分符號:

這就是所謂的黎曼和，以復變分析的創始人之一，Bernhard Riemann命名。現在，這看起來更可怕，但我們只是增加了一些細節。這個公式很簡單地說明了，你可以計算出一個函數和x軸之間的面積用矩形的和表示。每個矩形的面積由任意寬度Δx給出，高度由x函數的值給出，其中x是根據一些標準（左端點、中點、最大值等）選擇的。

上面的方程看起來很複雜，但它所做的只是用數學來量化前面所述的內容。隨著矩形的寬度變得無窮小(越來越接近0)，我們對面積的近似使用矩形變得越來越精確。通過寬度不必一致，矩形的高度可以通過不同的標準來確定，然而，最後的積分總是相同的。

積分的符號∫只是一個拉長的S（代表和），我們正在計算函數f（x）在2個點之間的積分：a和b。dx只是表示每個分區寬度的一個無窮小值（這相當於積分中的Δx，因為Δx趨向於0）

在兩點之間計算的積分稱為定積分。定積分可以讓我們實際計算出一個函數和x軸（或者y軸，甚至是另一個函數之間的面積，但這要稍微複雜一些）。

這個積分是如何計算的？幸運的是，你不必經歷一個漫長的過程來求很多很多矩形。微積分基本定理的第一部分指出：

F(x)是f(x)不定積分的標準符號。這意味著F(x)的導數等於f(x)也就是F &39; (x) = 2x，我們求導的原始函數是什麼?結果是一個不定積分返回一個函數;定積分返回一個值。這是積分的第二個目的:它是導數的逆函數。這在微積分基本定理的第二部分中得到了數學上的證明，

上面的積分是不定積分，因為它沒有端點。這個積分要做的就是求一個函數的不定積分。為了求值，你必須熟悉微積分和導數的規則。有各種各樣的規則可以用來解決這個問題，它們源於導數的計算方法。

以下是一些基本的規則。如果你對這個圖表感到困惑，或者不明白這些規則從何而來，我建議你進一步閱讀導數(它和積分一樣直觀)。

為了求出函數和x軸之間的面積，首先對函數求不定積分，然後在兩個端點取值(記住，不定積分仍然是一個函數)最後，用基本定理從第二個結果中減去第一個結果。

到目前為止，這些都是非常抽象和技術性的，所以讓我們在一個例子中實際應用這些概念。我們要求函數f(x) = 3x^2,x在端點0到6之間的面積。第一步是求這個函數的不定積分。我們得到F(x) = x^3如果你想再次驗證，只要對F(x)求導如果它等於原始函數f(x) 。

積分與微分學密切相關，所有其他分支(微分方程、向量微積分、多元微積分等)都源於這兩個創始思想。本文的目標是介紹積分的概念，讓數學從直覺出發。積分使我們能夠更好地理解我們的世界，更精確地描述現象。