微積分第1講:微分與積分

2022-01-01 數學縱貫線

編者按：以下是南開大學陳省身數學所白承銘教授為陳省身先生的「微積分六講」寫的介紹資料：

2001 年10 月11 日下午, 南開數學研究所大講演廳內座無虛席, 世界著名數學家陳省身先生 要給大家來上基礎課了. 4 時整, 我們尊敬的陳先生不顧已經九十高齡, 坐著輪椅準時來到講演廳, 開始給大家講授《微積分及其應用》的第一講.

 

這次活動是在陳先生本人倡導下, 由南開大學、天津大學「劉徽應用數學中心」舉辦的《應用數 學》系列課程的第一門課程, 並由陳先生親自主講. 陳先生要給大學本科生上基礎課的消息傳開後, 不僅在南開大學和天津大學, 而且在整個天津地區的高校都產生了很大的震動, 許多學校的學生甚 至很多教師紛紛要求聽課. 但是由於演講廳條件所限, 所以只能採取限制名額的辦法, 最終聽眾是 以南開大學和天津大學兩校的大二, 大三學生為主, 並有少量天津市其他高校的學生和青年教師. 即使這樣, 每次仍然有很多沒有報上名的學生站在過道和走廊裡聽陳先生的演講, 大家的熱情可見 一斑. 同時, 陳先生的報告也吸引了很多教師參加, 甚至還有在南開大學訪問的外籍學者, 如美國 布朗大學的 Bruno Harris 教授就一次不落地聽完了全部演講.

 

陳先生曾經計劃講《微積分及其應用》八次, 但是期間因身體不適住院兩周, 到11 月30 日的最後一次(12 月初已經先期安排了其他課程) , 共講了六次. 陳先生在住院期間仍然念念不忘他的課程和學生, 他一出院, 就趕快備課並準時出現在講臺上, 他的這種敬業精神使所有人都非常感動, 並 且也給年輕人樹立了良好的榜樣. 大師給學生們上基礎課, 不僅僅為學生們帶去了對基礎知識更為 深刻的理解, 更為我們的大學教育帶來了新鮮風氣, 教師們也從中學到如何真正地為人師表.

 

微積分課程本身作為大學生基礎課並不是很難, 難的是如何看待微積分裡眾多的命題和定理, 以及為什麼要有它們. 想弄懂這些, 就必須站在一定的高度來觀察分析, 這不僅要對微積分本身有 很深的理解, 還需要對更深一步的知識有很好的把握, 陳先生就是這樣的一位數學老師. 陳先生講得深入淺出, 引人入勝, 他用非常簡潔的語言, 形象的說明給大家講授了微積分學的基本定理以及在微分幾何上的應用. 同時他那嚴謹卻不枯燥、風趣中又一絲不苟的講課風格, 更告訴我們數學大師是如何授課的. 聽過陳先生課的人, 都領悟到他在談笑風生之間已經將深奧的數學知識中精闢的傳授給了大家. 所有人都感到獲益匪淺, 這可以從聽課的學生們交上來的讀書報告中清楚地看出 來. 有學生說:「大師就是大師, 講得就是好」,「很通俗, 很好懂」。

 

為了使更多的人能夠了解陳先生演講的內容, 我作為陳先生的助教, 根據陳先生演講錄音進行了整理, 在下面簡要地作一介紹. 由於本人水平有限, 錯誤在所難免, 僅供大家參考. 陳先生認為「微積分的範圍很廣」, 因為時間關係, 這個課程「只能講個大概, 尤其是介紹整個的有一些意義的問題」.「應該提一提微積分整個的影響或者是在哪些方面向前發展了. 可以說, 微積分向前發展大概有兩個最重要的方面: 一個是在幾何的應用, 另一個是複數.」   陳先生著重講的是微積分學的基本定理以及在微分幾何上的應用. 他的演講主要包括：

 

「微分和積分」(1講) ,

「對數函數與指數函數」(1講) ,

「曲線論」(1講)

「曲面論與 Gauss‐Bonnet 公式」(3講).

 

以下是陳先生演講的記錄稿, 由白承銘、宋敏、雲保奇、趙志根等教授記錄整理, 曾分期刊登於《高等數學研究》.

 

編者注：感謝《高等數學研究》授權本微信公眾號轉載分享。以下是陳省身先生第一講「微分和積分」的正文，為方便讀者閱讀理解，編者對文字和排版略有改動（所有藍色標記都是編者補充的，以示強調）。

          

                            圖來自Wikipedia.

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