近年來各地的中考題中，越來越多的出現「新定義問題」，著重考查學生的學習能力、應用知識水平和創新意識；
所謂「新定義問題」，是給出一個學生沒有接觸過的的事物的新定義，現學現用，去解決問題；
主要包括以下幾種類型：①概念的「新定義」；②運算的「新定義」；③規則的「新定義」；④實驗操作的「新定義」；⑤幾何圖形的新定義．
題型分析
中考數學卷中「新定義」問題一直深受出題人的青睞，但同時也是很多學生望而生畏的題型。所謂「新定義」題型，即是在考試題目中，定義了初中數學教材上沒有的概念、運算法則等等。它將「新定義」的理解、數學閱讀和數學探究有機結合的一類試題。這就要求學生要在短時間內讀懂定義、看懂規則，並運用此概念、規則解決相關問題。這類問題不僅考查學生的自主學習能力、創新能力、運算能力、推理能力，還考查更高層次的抽象思維能力，直指數學學科核心素養。解決這類問題的關鍵在於學生要能抽象出新概念中的核心原則，類比所學知識的思想和方法，最終完成解答。
經典考題
【解析】：本題題是一道圓的綜合題，考查了圓的性質，弧長計算，直角三角形性質等，給出了「三角形中內弧」新定義，要求學生能夠正確理解新概念，並應用新概念解題．
（2）如圖3，由垂徑定理可知，圓心一定在線段DE的垂直平分線上，連接DE，作DE垂直平分線FP，作EG⊥AC交FP於G，
①當t＝1/2時，C（2，0），∴D（0，1），E（1，1），F（1/2，1），
設P（1/2，m）由三角形中內弧定義可知，圓心在線段DE上方射線FP上均可，∴m≥1，
∵OA＝OC，∠AOC＝90°∴∠ACO＝45°，
∵DE∥OC，∴∠AED＝∠ACO＝45°
作EG⊥AC交直線FP於G，FG＝EF＝1/2,根據三角形中內弧的定義可知，圓心在點G的下方（含點G）直線FP上時也符合要求；∴m≤1/2.
綜上所述，m≤1/2或m≥1．
②如圖4，設圓心P在AC上，
∵P在DE中垂線上，∴P為AE中點，作PM⊥OC於M，則PM＝3/2，
∴P（t，3/2），
∵DE∥BC,∴∠ADE＝∠AOB＝90°
方法點評：本題以中內弧的新定義為背景，第1問，給定特殊的等腰直角三角形，找中位線產生的最長的中內弧，各種特殊的設定，大大降低了難度，讓考生先認識、體會中內弧的定義和特點：中內弧是定弦、但圓心不定情況下產生的所有點在三角形內部或邊上的一組弧；
遵循由「特殊到一般」的思想，第2問，三角形的背景變成了平面直角坐標系下的直角三角形，同樣是中位線產生的中內弧，但因為點坐標含參數t而多了很多不確定性；在第2問中，題目有梯度的設計，第①小問給定t值，求圓心縱坐標的取值範圍，這時需要注意到中內弧可能在上下兩個方向，因此圓心的縱坐標需要分類討論； 第②小問難度較大，因為t值不確定，需要進行分類討論，然後再尋找臨界情況，以此確定t的取值範圍，對圓的性質的考察提出了較高的要求.
2．（2018北京）對於平面直角坐標系xOy中的圖形M，N，給出如下定義：P為圖形M上任意一點，Q為圖形N上任意一點，如果P，Q兩點間的距離有最小值，那麼稱這個最小值為圖形M，N間的「閉距離「，記作d（M，N）．
已知點A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．
（1）求d（點O，△ABC）；
（2）記函數y＝kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的圖象為圖形G．若d（G，△ABC）＝1，直接寫出k的取值範圍；
（3）⊙T的圓心為T（t，0），半徑為1．若d（⊙T，△ABC）＝1，直接寫出t的取值範圍．
【解析】本題主要考查圓的綜合問題，解題的關鍵是理解並掌握「閉距離」的定義與直線與圓的位置關係和分類討論思想的運用．
（1）如圖所示，點O到△ABC的距離的最小值為2，
（2）y＝kx（k≠0）經過原點，在﹣1≤x≤1範圍內，函數圖象為線段，
當y＝kx（﹣1≤x≤1，k≠0）經過（1，﹣1）時，k＝﹣1，此時d（G，△ABC）＝1；
當y＝kx（﹣1≤x≤1，k≠0）經過（﹣1，﹣1）時，k＝1，此時d（G，△ABC）＝1；
∴﹣1≤k≤1，
∵k≠0，∴﹣1≤k≤1且k≠0；
（3）⊙T與△ABC的位置關係分三種情況：
①當⊙T在△ABC的左側時，由d（⊙T，△ABC）＝1知此時t＝﹣4；
②當⊙T在△ABC內部時，
當點T與原點重合時，d（⊙T，△ABC）＝1，知此時t＝0；
3．（2019寧波）定義：有兩個相鄰內角互餘的四邊形稱為鄰餘四邊形，這兩個角的夾邊稱為鄰餘線．
（1）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，E，F分別是BD，AD上的點．
求證：四邊形ABEF是鄰餘四邊形．
（2）如圖2，在5×4的方格紙中，A，B在格點上，請畫出一個符合條件的鄰餘四邊形ABEF，使AB是鄰餘線，E，F在格點上．
（3）如圖3，在（1）的條件下，取EF中點M，連結DM並延長交AB於點Q，延長EF交AC於點N．若N為AC的中點，DE＝2BE，QB＝3，求鄰餘線AB的長．
【解析】（1）AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，又AD⊥BC，則∠ADB＝90°，則∠FAB與∠EBA互餘，即可求解；
（2）如圖所示（答案不唯一），四邊形AFEB為所求；
（3）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，∴BD＝CD，
∵DE＝2BE，∴BD＝CD＝3BE，∴CE＝CD+DE＝5BE，
∵∠EDF＝90°，點M是EF的中點，
∴DM＝ME，∴∠MDE＝∠MED，
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△DBQ∽△ECN，∴QB/NC=BD/CE，
∵QB＝3，∴NC＝5，
∵AN＝CN，∴AC＝2CN＝10，∴AB＝AC＝10．
4．（2017鹹寧）定義：
數學活動課上，李老師給出如下定義：如果一個三角形有一邊上的中線等於這條邊的一半，那麼稱這個三角形為「智慧三角形」．
理解：
（1）如圖1，已知A、B是⊙O上兩點，請在圓上找出滿足條件的點C，使△ABC為「智慧三角形」（畫出點C的位置，保留作圖痕跡）；
（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是BC的中點，F是CD上一點，且CF＝1/4CD，試判斷△AEF是否為「智慧三角形」，並說明理由；
運用：
（3）如圖3，在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為1，點Q是直線y＝3上的一點，若在⊙O上存在一點P，使得△OPQ為「智慧三角形」，當其面積取得最小值時，直接寫出此時點P的坐標．
【解析】（1）連結AO並且延長交圓於C1，連結BO並且延長交圓於C2，即可求解；
（2）設正方形的邊長為4a，表示出DF、CF以及EC、BE的長，然後根據勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2，再根據勾股定理逆定理判定△AEF是直角三角形，由直角三角形的性質可得△AEF為「智慧三角形」；
（3）如圖3所示：
由「智慧三角形」的定義可得△OPQ為直角三角形，
根據題意可得一條直角邊OP＝1，∴PQ最小時，△POQ的面積最小，即OQ最小，由垂線段最短可得斜邊最小為3，
5．（2017寧波）有兩個內角分別是它們對角的一半的四邊形叫做半對角四邊形．
（1）如圖1，在半對角四邊形ABCD中，∠B＝1/2∠D，∠C＝1/2∠A，求∠B與∠C的度數之和；
（2）如圖2，銳角△ABC內接於⊙O，若邊AB上存在一點D，使得BD＝BO，∠OBA的平分線交OA於點E，連結DE並延長交AC於點F，∠AFE＝2∠EAF．求證：四邊形DBCF是半對角四邊形；
（3）如圖3，在（2）的條件下，過點D作DG⊥OB於點H，交BC於點G，當DH＝BG時，求△BGH與△ABC的面積之比．
【分析】（1）根據題意得出∠B＝1/2∠D，∠C＝1/2∠A，代入∠A+∠B+∠C+∠D＝360°求出即可；
（2）求出△BED≌△BEO，根據全等得出∠BDE＝∠BOE，連接OC，設∠EAF＝α，則∠AFE＝2∠EAF＝2α，求出∠EFC＝180°﹣2α，∠AOC＝180°﹣2α，即可得出等答案；
（3）解：過點O作OM⊥BC於M，
∵四邊形DBCF是半對角四邊形，∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠BAC＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴BC＝2BM＝√3BO＝√3BD，
∵DG⊥OB，∴∠HGB＝∠BAC＝60°，
∵∠DBG＝∠CBA，∴△DBG∽△CBA，
6．（2018寧波）若一個三角形一條邊的平方等於另兩條邊的乘積，我們把這個三角形叫做比例三角形．
（1）已知△ABC是比例三角形，AB＝2，BC＝3，請直接寫出所有滿足條件的AC的長；
（2）如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC．求證：△ABC是比例三角形．
（3）如圖2，在（2）的條件下，當∠ADC＝90°時，求BD/DC的值．
【分析】（1）根據比例三角形的定義分AB2＝BCAC、BC2＝ABAC、AC2＝ABBC三種情況分別代入計算可得；
（2）先證△ABC∽△DCA得CA2＝BCAD，再由∠ADB＝∠CBD＝∠ABD知AB＝AD即可得；
（3）如圖，過點A作AH⊥BD於點H，
∵AB＝AD，∴BH＝1/2BD，
∵AD∥BC，∠ADC＝90°，∴∠BCD＝90°，∴∠BHA＝∠BCD＝90°，
又∵∠ABH＝∠DBC，
2020中考新定義壓軸題預測題
1．定義：如果一個三角形中有兩個內角α，β滿足α+2β＝90°，那我們稱這個三角形為「近直角三角形」．
（1）若△ABC是「近直角三角形」，∠B＞90°，∠C＝50°，則∠A＝______度；
（2）如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4．若BD是∠ABC的平分線，
①求證：△BDC是「近直角三角形」；
②在邊AC上是否存在點E（異於點D），使得△BCE也是「近直角三角形」？若存在，請求出CE的長；若不存在，請說明理由．
（3）如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點D為AC邊上一點，以BD為直徑的圓交BC於點E，連結AE交BD於點F，若△BCD為「近直角三角形」，且AB＝5，AF＝3，求tan∠C的值．
【解析】（1）∠B不可能是α或β，當∠A＝α時，∠C＝β＝50°，α+2β＝90°，不成立；故∠A＝β，∠C＝α，α+2β＝90°，則β＝20°，答案為20；
（2）①如圖1，設∠＝ABD∠DBC＝β，∠C＝α，則α+2β＝90°，故△BDC是「近直角三角形」；
②存在，理由：
在邊AC上是否存在點E（異於點D），使得△BCE是「近直角三角形」，
AB＝3，AC＝4，則BC＝5，
則∠ABE＝∠C，則△ABC∽△AEB，
即AB/AE=AC/AB，即3/AE=4/3，解得：AE＝9/4，則CE＝4﹣9/4=7/4；
（3）①如圖2所示，當∠ABD＝∠DBC＝β時，
則AE⊥BF，則AF＝FE＝3，則AE＝6，AB＝BE＝5，
過點A作AH⊥BC於點H，設BH＝x，則HE＝5﹣x，
②如圖3所示，當∠ABD＝∠C＝β時，
過點A作AH⊥BE交BE於點H，交BD於點G，則點G是圓的圓心（BE的中垂線與直徑的交點），
∵∠AEB＝∠DAE+∠C＝α+β＝∠ABC，故AE＝AB＝5，則EF＝AE﹣AF＝5﹣3＝2，
∵DE⊥BC，AH⊥BC，∴ED∥AH，則AF：EF＝AG：GE＝2：3，
則DE＝2k，則AG＝3k＝R（圓的半徑）＝BG，點H是BE的中點，則GH＝1/2DE＝k，
2．我們不妨約定：對角線互相垂直的凸四邊形叫做「十字形」．
（1）在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，一定是「十字形」的有 ．
（2）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，且CB＝CD
①證明：四邊形ABCD是「十字形」；
②若AB＝2．∠BAD＝60°，∠BCD＝90°，求四邊形ABCD的面積．
（3）如圖2．A、B、C、D是半徑為1的⊙O上按逆時針方向排列的四個動點，AC與BD交於點E，若∠ADB﹣∠CDB＝∠ABD﹣∠CBD．滿足AC+BD＝3，求線段OE的取值範圍．
【分析】（1）利用「十字形」的定義判斷即可；
（2）①連接AC和BD，運用垂直平分線的判定即可；
②先判斷出∠ADB+∠CAD＝∠ABD+∠CAB，進而判斷出∠AED＝∠AEB＝90°，即：AC⊥BD，再判斷出四邊形OMEN是矩形，進而得出OE2＝2﹣（AC2+BD2），設AC＝m，列出二次函數分析即可．
（3）由已知條件推知，AC⊥BD．過點O作OM⊥AC於M，ON⊥BD於N，
∵∠ADB+∠CBD＝∠ABD+∠CDB，∠CBD＝∠CAD，
∴∠ADB+∠CAD＝∠ABD+∠CAB，
∴180°﹣∠AED＝180°﹣∠AEB，
∴∠AED＝∠AEB＝90°，∴AC⊥BD，
過點O作OM⊥AC於M，ON⊥BD於N，連接OA，OD，
3．用一條直線分割一個三角形，如果能分割出等腰三角形，那麼就稱這條直線為該三角形的一條等腰分割線．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．
（1）如圖（1），若O為AB的中點，則直線OC_______△ABC的等腰分割線（填「是」或「不是」）
（2）如圖（2）已知△ABC的一條等腰分割線BP交邊AC於點P，且PB＝PA，請求出CP的長度．
（3）如圖（3），在△ABC中，點Q是邊AB上的一點，如果直線CQ是△ABC的等腰分割線，求線段BQ的長度等於_______．（直接寫出答案）．
【解答】：（1）如圖（1），是．
∵∠ACB＝90°，O為AB中點，
在Rt△ACB中，OC＝1/2AB＝AO＝BO，
∴得等腰△AOC和等腰△BOC．
則直線OC是△ABC的等腰分割線
故答案為：是；
（2）由題可知PA＝PB，BC＝6，
設CP＝x，則PA＝PB＝8﹣x，
（3）BQ＝5或2或6或36/5．
①若△ACQ為等腰三角形，
如圖（3），當AC＝AQ時，AQ＝8，BQ＝AB﹣AQ＝2，
如圖（4），當QC＝QA時，Q為AB中點，BQ＝1/2AB＝5．
當CA＝CQ時，Q不在線段AB上，捨去．
②若△BCQ為等腰三角形．
如圖（5），當CQ＝CB時，過C作CM⊥AB於M，此時M為BQ的中點，
如圖（6），當BC＝BQ時，BQ＝BC＝6．如圖（7），當QC＝QB時，Q為AB中點，BQ＝1/2AB＝5．綜上，BQ＝2或5或36/5或6．
解題反思
新定義型試題是建立在學生己學知識及思想方法的基礎之上，解這類問題時，首先要
求學生具有良好的學習新知的能力，準確理解定義的含義，再聯繫已學的思想方法解決聞題.基於反比例函數為背景的新定義問題僅僅是新定義問題中的一類，新定義問題形式多樣，涉及內容廣泛，無論代數還是幾何，均可涉及.比如：新定義數、新定義函數，新定義運算、新定義變換、新定義圖形等等，但從上例中我們可以得到解決這類問題的一般思路。
（1）緊扣定義，理清題意求解任何一道題，首先應理解題意，明確題目中已知與未知。而對於新定義問題更是如此，一個陌生的概念或法則.需要解析題目中定義了什麼，能得到什麼，怎麼用等.比如例題中定義了「眸」及「眸徑」，挖據定義可以得到其實質是函數圖像交點問題，因此，交點坐標是解題關鍵，那麼點的坐標可以怎麼求呢？
（2）回歸教材，尋求方法新定義問題雖然新穎，但是當我們理解定義的定義後，聯繫題目中的其他條件，不難發現新定義題型都與教材知識緊密相連，比如上面考題就涉及到教材中的反比例函數與一次函數圖像交點，圖形平移中點的坐標及函數解析式的變化規律，解方程（組）等內容.
（3）嘗試解題，擇優選擇一個問題的思考角度不同，解決方法亦會不同。在具體問題中，我們不難發現一些思路理論上可以解決問題，但實際操作起來非常困難.數學解題的原則是將複雜問題簡單化，因此，擇優選取方法、轉化問題，簡潔、正確地解決問題.比如例題中的兩種解法，其關鍵都是P、Q兩點坐標，解法1由函數解析式表示出交點坐標建立方程的方式故然沒錯，但在解題中不難發現其運算量很大.因此，再次分析題目，思考已知的條件之間有什麼聯繫，能夠得到什麼。是否可以轉化問題，不難找到解法2的思路。
3. 把握新定義問題的三個特點
特點之一：思想和能力立意（ 萬變不離其宗）
新定義問題一般第一問相對較易，引用毛主席1948年說過的話要從戰略上藐視敵人，戰術上重視敵人，戰略上藐視就是新定義問題這隻狐狸不就是四大思想、四大能力嗎？除了這個再也整不出新花樣了！
特點之二：具體到做第一問閱讀理解問題時，要捨得花時間，儘量發現新概念中所研究對象的本質特徵，因為照貓畫虎也好、照貓畫豹子也好，首先要把貓的特徵理解把握明確，才能遊刃有餘的發揮，而不是只滿足於得到了送的分就沾沾自喜，這也是所謂的戰術上重視敵人。
這裡，我還想強調這句話：世界上沒有無緣無故的恨，也沒有無緣無故的愛，更沒有無緣無故的第（1）問
特點之三：抓特殊位置、特殊值、臨界點，這是永恆不變的主題，也是有效得分的技巧。
其實，我們冷靜的想一想，既然新定義問題是代幾綜合，幾何圖形一旦出現圓，如果涉及到計算，就要轉化為直角三角形或相似，而要想得到直角三角形，就必然用到垂徑定理、直徑所對的圓周角是90度、切線的性質定理。這樣找特殊位置也就不難想到了。而代幾綜合也肯定涉及到函數，涉及到函數的計算大部分都要求點的坐標，當然我們要找特殊點代入了。
教學感悟
我還想強調教學中要抓住新定義代幾綜合題的特點：數形結合，尤其是要引導學生重視形的作用，以形助數、才能化抽象為直觀，才能化繁為簡，才能四兩撥千斤。敢於動手、敢於畫圖、敢於畫出邊界線，以靜制動、才有了抓手。教學中還要強調考試技巧，提示同學根據新定義問題的特點和自己的實力，敢於出擊也要勇於放棄，首先，要通過練習，鼓勵同學們要有挑戰的勇氣，第一問的分勢在必得，第二問儘量拿分，第三問使完自己的三板斧-------緊抓特殊、以形助數、方程思想，打的贏就打，打不贏就走，最後在檢查全卷其他題沒有問題的情況下，可以繼續衝刺鑽研。
可以說，新定義題型構思巧妙，立意新穎，重在考查學生學習能力、實踐能力及創新精神，很好地體現了新課標的理念.但無論題目以何種方式早現，其本質都是源於教材的核心知識，解決這類問題，關鍵在於緊扣定義，聯繫已學知識和數學思想方法.