第4課時 映射與函數定義域、值域

●高考要求

1.熟練掌握求定義域和值域的方法.

2.了解映射的概念.

●見證考題

【考題】 (2004年全國舊教材卷)設函數f(x)= 則使得f(x)≥1的自變量x的取值範圍為

A.(－∞，－2］∪［0，10］

B.(－∞，－2)∪［0，1］

C.(－∞，－2］∪［1，10］

D.［－2，0］∪［1，10］

解法一：解方程組 或

得x∈(－∞，－2］∪［0，10］，選A.

解法二：(代入驗證法)

取x=－1，得f(－1)=0，不合題意，排除D；

取x=0，得f(0)=1，合題意，排除C；

取x=2，得f(2)=3，合題意，排除B.

故選A.

答案：A

點撥：本題主要考查運用分段函數的知識去分析問題和解決問題的能力.解法一用的是解不等式組法，較直接；解法二用代入驗證法，選取特殊值時有技巧.

●知識連結

1.對映射f：A→B概念的理解：①A、B為非空集.②A中無剩餘元素(即任意元素，沒有不參與對應的元素).③象的單一性 (B中唯一元素).④B中元素可以沒有原象.

2.函數的三個要素為定義域、值域和對應法則.函數的定義域是函數中自變量的取值範圍；函數的值域是函數值的取值範圍.其中定義域與對應法則放在一起構成一個完整的函數，缺一不可.設y=f(x)定義域為A，則y=f(x)的值域是{y|y=f(x)，x∈A}.

●重點、難點、疑點剖析

一、映射定義、函數概念的理解是重點

【例1】 已知y=f(lgx)的定義域是［ ，100］.

(1)求f(x)的定義域；

(2)求f(x²－2)的定義域.

分析：在同一法則「f」下，自變量lgx、x、x²－2的範圍是一致的.

解：(1)∵ ≤x≤100，

∴－1≤lgx≤2.

∴f(x)的定義域是［－1，2］.

(2)由－1≤x²－2≤2，得－2≤x≤－1或1≤x≤2.

故f(x²－2)的定義域是［－2，－1］∪［1，2］.

歸納：注意y=f(lgx)、y=f(x)、y=f(x²－2)是三個不同的函數，定義域指函數中自變量x的取值範圍.

類題演練1：已知函數f(x)的定義域為［a，b］，且a+b＞0，求f(x²)的定義域.

解：根據題意b＞a，且b＞－a，∴b＞|a|≥0.

由a≤x²≤b，得當a≤0時，x∈［－ ， ］；

當a＞0時，x∈［－ ，－ ］∪［ ， ］.

∴f(x²)的定義域當a≤0時，是［－ ， ］;

當a＞0時，是［－ ，－ ］∪［ ， ］.
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