勾股定理證明——續

大家好！很高興我前天寫的《勾股定理證明》能得到大家的支持。其中還特別得到了一位院士伯伯的點評，他說：「值得鼓勵！這個證明方法是中國古代數學留下的漂亮證明之一。我們單位的Logo就是該證明的示意圖(http://www.amss.ac.cn)」 。還有一位楊元海叔叔也告訴我媽媽了這個消息，他說：「保福寺橋西側的中科院的數學所的所徽，就是孩子畫的第一個圖形」。我按照院士伯伯給的連結去看了，果然！就是這個：

真是太意外！也太開心了！

也有很多人問我：是怎麼想到這個證明的？所以，今天我就繼續分享一下勾股定理證明的續集。

一、我怎麼想到證明勾股定理的？

      我在上數學課外班的時候聽說了勾股定理，還聽說證明起來很難，所以我想挑戰一下。

二、思考過程：

      橫邊設為A，豎邊設為B，斜邊設為C。

我首先想到了正方形，因為我們班同學經常一看到乘法就想到長方形，所以我看到了平方就想到了正方形。於是我做了一個邊長為C的正方形，然後把直角三角形直接帶進去，做出來了一個邊長為B + A的正方形裡面套了一個小的邊長為C的正方形。緊接著，我又發現小正方形（邊長為C的正方形）和大正方形（邊長為A + B的正方形）正好相差四個小直角，三角形直角三角形的面積是A × B ÷2，然後相差四個就是(A × B ) ÷2×4也就是A × B×2。我又做了一個邊長為A + B的平方，然後在裡面畫兩個邊長分別為A和B的正方形，發現這兩個正方形加起來的面積和A + B合起來的平方面積的正方形也正好相差兩個長為A、寬為B的長方形（A ×B ×2）。A × B ×2和 A × B ×2相等，由此完成了對勾股定理的證明。還把它在紙上畫了出來，拍照發給了我的數學老師。

三、邏輯嚴謹的兩種數學證明表述

      前面提到的楊元海叔叔特別認真，給我做了很多點評。他給我媽媽留言說：「看了一下孩子的證明。對於小學四年級的孩子來說，有這樣獨立的思考能力己經非常不錯了，特別是在沒有完備的平面幾何知識的情況下。雖然孩子證明的過程還缺少邏輯的嚴密性與流暢。但是對數學的興趣引領下，隨著知識體系的完備，一定會越來越棒。」 然後，他還特別為我的證明理了一下過程的嚴密性與簡潔性，寫出了兩種證明方法。此外，楊叔叔還給我推薦了一些學習數學的書和方法，並告訴我：

        數學讓人嚴謹精確慎密，

        語文讓人生動感性豐富，

        而二者之精髓，以邏輯相貫通。

       非常感謝楊叔叔特別為我寫了這兩種數學證明，以下我把它分享給大家：

【命題】

        證明任意直角三角形兩直角邊的邊長平方之和等於該直角三角形的斜邊邊長平方。

      即勾股定理的證明。以代數式表達為：

A²+B²＝C²

     （其中A與B分別是該直角三角形的兩直角邊長度，C是斜邊長度）

【證明一】

第一步：

       以邊長（A+B）作一正方形。依次連接該正方形相鄰邊上的（A+B）線段分割點，得到四個  其兩直角邊邊長均為A與B的直角三角形且斜邊長為C，以及一個四邊邊長均為C的四邊形；（這一步就是孩子畫的那第一個圖）

第二步：

   （要證明邊長C的四邊形是正方形→「矩形」）

     由第一步可知，4個直角三角形是全等三角形（兩直角邊邊長均為A與B，直角），故得邊長C的四邊形的四個頂角都是直角「90度」，該四邊形為邊長為C的正方形。

第三步（求面積）

        即邊長為（A+B）的大正方形面積，等於4個三角形的面積+邊長為C的小正方形面積：

①大正方形面積：

（A+B）²

＝A²+B²+2AB

②4個三角形的面積：

4x½（AⅹB）=2AB

③邊長C的小正形面積：

CⅹC=C²

①式＝②式+③式

代入得：

A²+B²+2AB=C²+2AB

化簡

得

A²+B²二C²    得證

       這樣，孩子只需畫第一個圖就行了。

        

      關鍵是要證明邊長C的小四邊形是正方形，這是整個證明的嚴密性的關鍵。不知孩子有沒有全等三角形的概念與三角形三個內角和是180°的概念。（三角形三個內角和是180°我知道，但不知道全等三角形的概念，我看了這個留言，問了媽媽，又學到了一個新知識。）

【證明二】

       那麼嚴格的純幾何證明過程就是採用圓規與直尺按照幾何公理做圖如以下表述：

第一步：（用圓規與直尺做出兩個大正方形）

①在任意一條直線L1上任選一點O1，過點O1做出直線L1的垂線L2。（即天然形成了直角，為後面的正方形與直角三角形從其概念定義完備其邏輯基礎）；

②以O1點為起點，以長度（A+B）分別在直線L1的一側及L2的兩側截取線段，且得線段端點O2（在直線L1上），O3及O4（均在直線L2上）；

③過O2點作L1的垂線L3，過O3與O4點分別作L2的垂線L4與L5，且L4及L5分別與L3相交於點O5與O6，則4個端點O1-O2-O3-O5及其兩相鄰的四條長度為（A+B）的線段圍成了正方形S1,四個端點O1-O2-O4-O6及其間的長度為（A+B）的線段圍成了正方形S2，可得：

S1=S2

第二步  

①在正方形S1上做出孩子畫的圖1（4個三角形與一個小正方形），得出：

S1＝2AB+C²

②在正方形S2上做出孩子畫的圖2（四個小矩形），得出：

S2＝A²+B²+2AB

第三步

代入等成S1=S2化簡。

證得A²+B²=C²

上述是純幾何做圖法的嚴密證明步驟。

好了，今天的內容就到這裡，敬請期待下期內容。並歡迎關注我支持的「0-3歲起跑線」公益項目：

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上期答案：

經營理髮店=>經營剃頭店=>晶瑩剔透

每日謎題：

東北風很涼    打一地名

（本期答案+下期答案=>終極謎題）

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