如果你見識過數學的美妙，就一定會同意，數學是個驚嘆號！
林開亮（首都師範大學數學博士，現任教於西北農林科技大學理學院）
我是周星馳朱茵版《大話西遊》的忠實粉絲，裡面的許多經典對白，都被我搬進了課堂。比如，上學期最後一堂課是高等數學課程的考前答疑，我是這樣開場的：「大家學了一個學期的微積分，我很想知道，數學在你心目中，究竟是個問號還是個驚嘆號？」大部分人都回應說，是問號。然而，當我繼續問「那麼，你的問題在哪裡呢？」臺下就一片沉默了。大家不吭聲，也許是因為問題太多了，簡直沒法提；又或者是多數人但求考試通過，對疑惑是避之唯恐不及，不願更不敢面對自己的問題。
其實，不光我班上的學生，對大多數人來說，數學可能都是一個大大的問號。他們可能難以理解，數學在某些人的心目中竟然是個驚嘆號（正如紫霞之於至尊寶）！在至尊寶心目中，紫霞是美的；在某些人的眼裡，數學也是美的。紫霞的美是一望即知而雅俗共賞的，而數學的美，往往不是一眼就能看出的，需要心領神會。一旦你見識過數學的美，就必然會同意，數學是個驚嘆號。如果你不信，我想先舉一個簡單的例子：雞兔同籠。這是中國古代著名趣題之一，記載於《孫子算經》，現在通常拿來考小學生。小學生沒學過方程組，這種題目就有點難了。
對下面這個具體的雞兔同籠問題，一位小學四年級的女生給出了解答，家長（是我的良師益友）不知道她做得對不對，就發圖片過來問我。現在我想請各位讀者也當一回判官，看看對錯：
她的解法是對的。這種解法被稱作「假設法」。其出發點是，假設全都是雞（或者兔），也就是她在題目之後寫下的第一句話。然而，這個方法並不好理解。很可能她的母親看到這句話就迷糊了：兔就是兔，怎麼能假設兔是雞呢？可以想像，如果老師在課堂上只教這種解法，效果可能不好。
對於這個問題，我要介紹一個更好懂的方法，它是由張景中院士提出來的。張景中院士是著名的數學家，出版過許多面向中學生的優秀數學科普著作，其代表作是《數學家的眼光》。
對雞兔同籠問題，張景中院士是這樣分析的：
雞有 2 條腿，兔有 4 條腿，出現了不平等。但實際上，也是平等的：本來雞也有 4 條「腿」，只是其中 2 條是翅膀。35 個頭本來應該有 35×4＝140 條腿，為什麼只有 94 條腿呢？因為翅膀不算腿，所以有140－94＝46 個翅膀，從而雞有 46÷2＝23 只，兔子有 35－23＝12 只。
很明顯，張景中院士的解法更好懂。兔是雞或雞是兔這樣荒謬的假定，根本用不著。他只是把雞的翅膀算作了腿（以達到雞與兔腿數的平等，這樣更好算），這就是數學家的眼光。要領略到數學的美，感受到數學中的驚嘆號，就需要這種眼光。
說到雞兔同籠問題，我想在這裡跟大家分享一下楊振寧先生在《我的學習與研究經歷》（http://news.sciencenet.cn/htmlnews/2012/2/259877.shtm）中的一段感悟：
我父親是研究數學的，我小時候他很自然地給我講了一些「雞兔同籠」、「韓信點兵」等四則問題。我學得很快，他很高興。很多年以後在美國，我有三個孩子，他們小時候我也給他們介紹「雞兔同籠」、「韓信點兵」等問題，他們也都學得很快，我也很高興。可是我與他們有一個區別：我父親介紹給我四則問題之後，過了一年他再問我，我都記得很清楚；我的孩子們，我一年後再問他們，他們就把四則問題完全忘得精光。結論：外來的信息如果能夠融入個人腦子裡面的軟體之中，就可能會「情有獨鍾」，有繼續發展的可能，像是一粒小種子，如再有好土壤、有陽光、有水，就可能發展成一種偏好（taste），可以使這個人喜歡去鑽研某類問題，喜歡向哪些方向去做「準備工作」，如果再幸運的話，也就可能發展出一個突破口，而最後開花結果。
如果你要考察小朋友是否在數學方面有興趣（也就是楊先生所謂的偏好），不妨學他們父子的辦法，用「雞兔同籠」問題試一試。（「韓信點兵」確實難了一點，據我的了解，普通的大學生可能都難以勝任；它不只是簡單的數的加減乘除四則運算，而是地地道道的數論。）
楊振寧先生的文章《我的學習與研究經歷》特別強調了他總結出的科學研究過程三部曲：興趣 → 準備工作 → 突破口。照我的理解，這個三部曲可以用驚嘆號和問號來改寫：！ → ？ → ！
為給出這個解釋，我想先借用陶淵明的《桃花源記》中的詩句。所謂興趣（第一個「！」），就是「晉太元中，武陵人捕魚為業。緣溪行，忘路之遠近，忽逢桃花林，夾岸數百步，中無雜樹，芳草鮮美，落英繽紛。漁人甚異之，」，其著眼點在「異」，訝異；所謂準備工作（中間的「？」），就是「復前行，欲窮其林。林盡水源，便得一山。山有小口，仿佛若有光。」「仿佛若有光」就是看到了希望。至此，突破口已經呼之欲出了：「便舍船從口入。初極狹，才通人。復行數十步，豁然開朗。」豁然開朗了，才能真正領悟其真諦（第二個「！」）。
現在你看出，第一個驚嘆號與第二個驚嘆號是有本質差別的：前者是莫名奇妙的訝異（驚）；後者是心領神會的歡喜（嘆）。連接兩者的問號，代表的是最曲折艱辛的漫漫求索，在陶淵明的詩句中則以「仿佛若有光」形如其最佳狀態。「仿佛若有光」就是似懂非懂而接近於懂，就是得道的前兆。美國數學家沙利文（D. Sullivan）曾在訪談中提及這種妙不可言的狀態：
許多數學家主要是受他們要簡化或理解的欲望所驅使的。你要權衡。最理想的位置是，你有著豐富的現象以及似懂非懂的地方，懂得太多，其「熵」反而低些。這種多少有點矛盾的情況最為理想。
第一個「！」代表的「甚異之」，和「？」代表的「仿佛若有光」，以及第二個「！」所代表的「豁然開朗」，可以把面對「芳草鮮美，落英繽紛」的人分成四個範疇：第一個範疇是沒興趣的；第二個範疇是有興趣、但僅僅停留在好奇階段的；第三個範疇是在冥思苦想但尚未發現真理的；第四個範疇是經歷整個過程而發現了「世外桃源」的。大多數科學家的常態都屬於第三範疇。
首先要指出，不必所有人都對同一個東西（比如數學）感興趣。一個人對一樣東西是否感興趣，往往取決於天性與機遇。天性難以改變，機遇方面似乎又可遇不可求，但總有一些經驗值得我們借鑑。作為例子，請允許我講點我個人的情況。現在我從事數學科普的寫作，有三個人對我影響最大：首先是我的姑媽，她是小學數學老師，在給我數學啟蒙時注意到我有數學頭腦，並一直鼓勵我鑽研數學；第二個是我的初二語文老師，她講課認真，寫得一手好文章，鼓勵作為理科生的我多讀多寫；最後一個是楊振寧先生，機緣巧合之下，我有幸蒙他指點，寫了一篇關於他的同事數學物理學家戴森（Dyson）的傳記，得到他首肯和鼓勵。遵循他的建議，在取得數學博士學位走上工作崗位之後，我堅定不移地踏上了科普寫作的道路。我知道前路漫漫，但我樂此不疲。從前思考數學時，我常常犯懶；現在，我的寫作一天都停不下來。
我想，科普的一個重要目標，就是要吸引更多的讀者到第二個範疇（甚異之）和第三個範疇（仿佛若有光）。德國數學家察吉爾（Don Zagier）舉過一個例子，可以幫你判斷一個人是否有當數學家的潛質：
我喜歡顯式的、可動手實踐的公式。對我來說，它們本身就很優美。它們可以很深刻，也可以很簡單。例如，設想你有一串數，它們滿足這樣的性質：其中任意一個數加上 1 以後得到的數，恰好是前後相鄰兩數的乘積。那麼這一串數必在五步之內循環。比方說，如果你從 3, 4 開始，那麼這串數是 3, 4, 5/3, 2/3, 1, 3, 4, 5/3，…，在五步之內循環。數學家與非數學家的區別，不在於能否發現像這樣的東西，而在於是否關心它、並對它為什么正確、有何意義、與數學中其它東西可能存在的聯繫而好奇。在這個特殊的例子中，結果表明，這個簡單的斷言與高水平數學中許多深刻的課題有關：雙曲幾何，代數 K- 理論，量子力學的薛丁格方程，以及量子場論的某些模型。我發現，這種非常初等的數學與非常高深的數學之間的聯繫極其優美。
這段話取自我跟幾位朋友合譯的一本數學家相冊（《當代大數學家畫傳》，上海世紀出版），最初翻譯時我並沒有意識到他舉的這個例子（五步之內循環的遞歸數列）多麼美妙。幾天前我才突然想起，很久以前曾在加德納（Martin Gardner）的數學科普書《矩陣博士的魔法數》中讀到過這個例子及其推廣：
矩陣博士從兩個數 a, b 開始，用函數 產生遞歸數列的算法，涉及到一個很寬泛的研究領域，其中存在著大量尚未解決的問題。一般來說，對任意的正整數 n，人們試圖找出 n 個變量的有理函數，使得由它生成的遞歸數列是循環數列並且其循環步數達到最長。對 n=2 的情況，賴尼斯（R. C. Lyness）撰文討論過實現五步循環的函數，至今尚不清楚是否有函數遞歸實現更長的循環步數？當 n=1 時，此類函數中最簡單的，當然是 ，在兩步之內實現循環；最長的循環步數為 3，由函數遞歸實現。在 n=3 的情況，已知的最長循環步數為 8，由函數遞歸實現；例如，如果初始值取 a=1, b=2, c=3，那麼數列是1, 2, 3, 6, 5, 4, 5/3, 4/3, 1, 2, 3…，八步之內循環。在 n=4 的情況，已知的最長循環步數為12，由函數遞歸實現，這是康威（John Conway）發現的。
這個經歷告訴我兩點：第一，我可能沒有當數學家的潛質；第二，作為一名有志於科普的作家，我要向加德納前輩多多學習，他是一個有品味的數學科普大師。順便提一句，加德納的許多科普小品都已集結出版，並且有中譯本，值得推薦給所有對數學感興趣的讀者。在他那些妙筆生花的文章裡，你可以看到數學中許許多多的驚嘆號！
當然，科學家做研究，其終極目標當然是進入第四範疇：追求「豁然開朗」，乃至發現（也許，一個更有抱負的說法是「開闢」） 「世外桃源」。在許多人物傳記中，你可以讀到他們對靈光一現的美妙瞬間的捕捉與形容，最刺激的畫面莫過於阿基米德發現浮力定律時的裸奔，那已成為流傳千古的大驚嘆號！阿基米德當時呼喊的「Eureka」，翻譯過來就是「我得道了！」
這個故事背後的數學與物理，我不打算複述。取而代之，我想再講兩個有關聯的例子，一個是他人分享的「似懂非懂」，一個是留給讀者自己去經歷的「豁然開朗」。
第一個例子來自物理學家費曼（Feynman），他不僅是榮獲諾貝爾獎的科學大師，也是加州理工學院富有魅力的物理教師，其膾炙人口的三卷本《物理學講義》風靡全球。比爾蓋茨不久前在博客上撰文，稱自己是費曼的鐵桿粉絲。
估計是因為他的自傳《別逗了，費曼先生》和《你幹嘛在乎別人怎麼想？》栩栩如生，費曼的讀者和粉絲遍及各行各業。比如前兩年很火的一個綜藝節目「爸爸去哪兒」中，有個小朋友就叫 Feynman。可以想見，他的父親吳鎮宇就是費曼的粉絲。在回答南都娛樂的提問「為什麼兒子叫 Feynman？」時，吳鎮宇這樣回答（我很少聽聞其他演員對科學有如此境界）：
Feynman 是一個科學家的名字。你知道，演員永遠都是伸手拿東西的。如果沒有科學家，我們可能到不了天上。Feynman 他爸爸（指吳鎮宇本人）已經是伸手討飯吃了，兒子應該幫我還債。有些科學家成就很高，但生活沒太大樂趣。但那個叫 Feynman 的科學家不是，他很懂得平衡生活。
這裡我們不擬涉入費曼多姿多彩的生活，他的書裡有生動的描述。我想跟大家分享一下他曾經疑惑的一件事，在其中他經歷了陶淵明詩中武陵漁人的全部歷程（引自費曼的演講集《發現的樂趣》）：
好，我繼續講我作為一個數學青年的親身經驗。
我父親告訴我的另一件事情——我不能很好地解釋它，因為這與其說是告訴，倒不如說是啟迪——所有的圓，不論尺寸多大，其周長與直徑的比值都是一樣的。對我來說，那並不是太難理解的，但是這個比值有一些奇妙的特性，那是一個美妙的數字，一個深奧的數字，π。 作為一個青少年，當時我還不能完全理解這個數字的奧秘，但這是個非同尋常的東西，我從此到處留心尋找這個 π。
後來在小學，我學到怎麼求小數，在怎麼求時，我寫下 3.125，我認為，這是圓的周長與直徑之比 π 的另一種寫法。老師把它糾正為 3.1416。
我用這些事情為例來說明一個影響。那兒有個秘密，有個關於數學的疑惑，這個想法——而不是那個數字本身——對我很重要。好久以後，我在實驗室——我說的是我自己家裡的實驗室——做實驗，到處胡亂撥弄——不，對不起，我從來不做實驗，從來都是到處胡整。我做收音機和小機械，四處胡亂撥弄。漸漸地，通過書和手冊，我開始找到一些適用於電學、把電流和電阻聯繫起來的公式。有一天，在看一本書上時，我找到振蕩電路的頻率的一個公式：
其中 L 是電感，C 是環路的電容。這個有個 π，但是圓在哪裡呢？你們在笑，但我當時十分嚴肅。π 原本是與圓有關的一個東西，現在從電路中出來了一個 π，那麼圓在哪裡呢？你們這些在笑的人，你們知道這個 π 是怎麼來的嗎？
我不得不愛這個東西，不得不去尋找它，思考它。然後我認識到，線圈當然是做成圓形的。大概半年以後，我發現另一本書，書上的線圈有的是圓的有的是方的，而這些公式中都有 π。我認識到 π 不是從圓形線圈中來的，我又開始思考。現在我對 π 的理解比較好了，但是在我心中，我仍然不清楚那個圓在哪兒，π 從哪兒來。
我們把少年費曼的這個疑問留給有興趣的讀者。如果你想獲得提示或核對答案，可以參見美國物理學會對他的訪談檔案（https://www.aip.org/history-programs/niels-bohr-library/oral-histories/5020-1）。費曼的例子屬於似懂非懂（估計他是故意這麼發問，以啟迪有興趣的讀者），還有待豁然開朗。我覺得下面一個例子更簡單，可以讓學過複數的讀者豁然開朗。歐拉（Euler）的下述公式，幾乎已經被奉為數學之美的首選代言：
eiπ + 1 = 0
英國當代數學領袖阿蒂亞爵士（Sir Atiyah）在最近的一個訪談中提到：
通過向數學家展示各種方程，並用磁共振成像（fMRI）記錄其大腦反應，我們發現，在 60 個備選公式中，被認為最美的，是上述歐拉公式。它用到了圓周率 π；歐拉常數 e（≈2.71828）；虛數單位 i；以及 1 和 0 ——將數學裡所有最重要的東西融合到一個公式中，這個公式真的很深刻。所以大家公認為，這是最美的方程。我曾說過，歐拉公式之於數學，恰如哈姆雷特的名句「生存還是毀滅」（To be, or not to be）之於文學——它們都非常簡潔，非常深刻。歐拉公式只使用五個符號，但包含了美妙而深刻的想法，簡潔是優美的重要成分。
毫無疑問，對那些第一次見到這個公式的人，其第一反應必定是一個大大的驚嘆號——你肯定會覺得奇妙，這是真的嗎？如果你把它當作一個優美的事實直接接受，那就失去一個進入桃源仙境的絕佳機會了。
圖片來源：姜文導演的電影《讓子彈飛》
面對這個公式，一般的讀者跟說這話的阿蒂亞是有本質差別的：一般的讀者只是停留在第一個驚嘆號的階段（莫名其妙的訝異，是不懂），而阿蒂亞以及有點數學見識的人（至少包括學過複變函數的所有人），則看透了其簡單的本質（心領神會的歡喜，懂了）。兩者之間相差的，是對 eiπ 乃至更一般的以虛數 it 為自變量的指數函數 eit 的理解，這是關鍵所在。我想把這個問題留給有興趣、樂於思考的讀者，我相信你也會從「仿佛若有光」而達到「豁然開朗」的奇妙境地。據我的體驗，你一旦理解了這個公式的本質，就可以對費曼的那個疑問得到更深刻的洞察。
我發現不少通俗文章寫得過於詳細，以至於讀者被牽著鼻子走，甚至沒有思考的餘地。所以我時刻提醒自己，切忌「知無不言、言無不盡」。我只要播下種子就好，因為在後面的劇情中，主角換人了。
* 本文經授權轉載自賽先生（微信號：iscientists）
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