現代數學史上著名的三次數學危機

2020-08-28 西南數學之家

第一次數學危機


數學家畢達哥拉斯


01

畢達哥拉斯是公元前五世紀古希臘的著名數學家與哲學家。他曾創立了一個合政治、學術、宗教三位一體的神秘主義派別：畢達哥拉斯學派。由畢達哥拉斯提出的著名命題「萬物皆數」是該學派的哲學基石。畢達哥拉斯學派所說的數僅指整數。而「一切數均可表成整數或整數之比」則是這一學派的數學信仰。然而，具有戲劇性的是由畢達哥拉斯建立的畢達哥拉斯定理卻成了畢達哥拉斯學派數學信仰的「掘墓人」。小小的根號2的出現，卻在當時的數學界掀起了一場巨大風暴。它直接動搖了畢達哥拉斯學派的數學信仰，使畢達哥拉斯學派為之大為恐慌。實際上，這一偉大發現不但是對畢達哥拉斯學派的致命打擊，對於當時所有古希臘人的觀念這都是一個極大的衝擊。這一結論的悖論性表現在它與常識的衝突上：任何量，在任何精確度的範圍內都可以表示成有理數。這就在當時直接導致了人們認識上的危機！


數學家希伯斯


02

數學家希伯斯發現了一個腰為1的等腰直角三角形的斜邊（即根號2）永遠無法用最簡整數比（不可公度比）來表示，從而發現了第一個無理數，推翻了畢達哥拉斯的著名理論。相傳當時畢達哥拉斯派的人正在海上，但就因為這一發現而把希伯斯拋入大海。

第二次數學危機


數學家牛頓


數學家萊布尼茲


01

第二次數學危機導源於微積分工具的使用。伴隨著人們科學理論與實踐認識的提高，十七世紀幾乎在同一時期，微積分這一銳利無比的數學工具為牛頓、萊布尼茲共同發現。這一工具一問世，就顯示出它的非凡威力。許許多多疑難問題運用這一工具後變得易如反掌。但是不管是牛頓，還是萊布尼茲所創立的微積分理論都是不嚴格的。兩人的理論都建立在無窮小分析之上，但他們對作為基本概念的無窮小量的理解與運用卻是混亂的。因而，從微積分誕生時就遭到了一些人的反對與攻擊。其中攻擊最猛烈的是英國大主教貝克萊。積分的合理性遭到嚴重質疑，險些要把整個微積分理論推翻。


數學家柯西


02

數學家柯西用極限的方法定義了無窮小量，微積分理論得以發展和完善，從而使數學大廈變得更加輝煌美麗！

第三次數學危機


數學家康託爾


01

十九世紀下半葉，康託爾創立了著名的集合論，在集合論剛產生時，曾遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這一開創性成果就為廣大數學家所接受了，並且獲得廣泛而高度的讚譽。數學家們發現，從自然數與康託爾集合論出發可建立起整個數學大廈。因而集合論成為現代數學的基石。「一切數學成果可建立在集合論基礎上」這一發現使數學家們為之陶醉。1900年，國際數學家大會上，法國著名數學家龐加萊就曾興高採烈地宣稱：「藉助集合論概念，我們可以建造整個數學大廈，今天，我們可以說絕對的嚴格性已經達到了」


數學家羅素

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可是，好景不長。1903年，一個震驚數學界的消息傳出：集合論是有漏洞的！這就是英國數學家羅素提出的著名的羅素悖論。羅素悖論：S由一切不是自身元素的集合所組成，那S包含S嗎？用通俗一點的話來說，小明有一天說：「我正在撒謊！」問小明到底撒謊還是說實話。羅素悖論的可怕在於，它不像最大序數悖論或最大基數悖論那樣涉及集合高深知識，它很簡單，卻可以輕鬆摧毀集合理論！

數學家策梅洛

03

危機產生後，數學家紛紛提出自己的解決方案。人們希望能夠通過對康託爾的集合論進行改造，通過對集合定義加以限制來排除悖論，這就需要建立新的原則。「這些原則必須足夠狹窄，以保證排除一切矛盾；另一方面又必須充分廣闊，使康託爾集合論中一切有價值的內容得以保存下來。」1908年，策梅洛在自己這一原則基礎上提出第一個公理化集合論體系，後來經其他數學家改進，稱為ZF系統。這一公理化集合系統很大程度上彌補了康託爾樸素集合論的缺陷。除ZF系統外，集合論的公理系統還有多種，如諾伊曼等人提出的NBG系統等。

相關焦點

  • 數學史的三次數學危機
    在數學史上，貫穿著矛盾的鬥爭與解決。當矛盾激化到涉及整個數學的基礎時，就會產生數學危機。而危機的解決，往往能給數學帶來新的內容、新的發展，甚至引起革命性的變革。 數學的發展就經歷過三次關於基礎理論的危機。
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    的三次數學危機數學史上的三次數學危機從哲學上來看，矛盾是無處不存在的，即便是數學中也有大大小小的許多矛盾，例如正與負在整個數學發展過程中，還有許多深刻的矛盾，例如有窮與無窮、連續與離散、存在與構造、邏輯與直觀、具體對象與抽象對象、概念與計算等等。在數學史上，貫穿著矛盾的鬥爭與解決。當矛盾激化到涉及整個數學的基礎時，就會產生數學危機。而危機的解決，往往能給數學帶來新的內容、新的發展，甚至引起革命性的變革。數學的發展就經歷過三次關於基礎理論的危機。
  • 數學上的三次危機
    現代意義上的數學，也就是以初始概念和公理出發的演繹系統數學，源自於古希臘的畢達哥拉斯學派。畢達哥拉斯這一學派的核心思想是「萬物皆數」或者說萬物皆整數，也就是說這個世界的根本是數。只有數學知識是可靠的、準確的，而且可以應用於現實世界，乃至宇宙間的各種關係，也都可以用整數或整數之比來表達。
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  • 數學史的三次數學危機_湃客_澎湃新聞-The Paper
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  • 三次數學危機歷程中矛盾對於數學發展史的推動
    導語：在奔流不息的歷史長河中，逐支分流緩緩而下，數學綴飾其中，發展至今。其中，數學的發展就經歷過三次關於基礎理論的危機。三次對數學理論進一步的新發現令當時的主流學說產生了不可迴避且無可爭議的理論漏洞與邏輯矛盾。
  • 數學的三次危機
    數學的三次危機來源：zgymaths的工作室
  • 數學史上一共發生過三次危機,都是怎麼回事?
    在數學歷史上，有三次大的危機深刻影響著數學的發展，三次數學危機分別是：無理數的發現、微積分的完備性、羅素悖論。即便如此，無理數的發現很快引起了一場數學革命，史稱第一次數學危機，這危機影響數學史近兩千年的時間。
  • 歷史上的三次數學危機
    作者的一個重要判斷是：人類文明在進入空前繁榮的同時，也陷入了空前的危機和困境，人類只有協調一致，利用已有的全部知識和智慧，方能夠成功迎接挑戰和走出困境，從而迎來人類更加美好的明天。       本期公眾號節選書中關於三次數學危機的內容予以推送，大小標題等為公眾號編輯所擬。
  • 數學史上的3次數學危機
    在數學的發展史上，大大小小的矛盾出現過很多，但很少能威脅到整個數學基礎理論，甚至引起危機。即便是千百年來人們對歐幾裡得幾何公理第五公設的疑惑，也不曾造成數學上的危機，且最終成就了羅巴切夫斯基幾何和黎曼幾何。數學史上共出現三次數學危機，每次都是由於悖論的發現而深刻和廣泛的影響了數學基礎。
  • 世界數學史上的三次數學危機
    數學的三次危機從哲學上來看，矛盾是無處不存在的，即便以確定無疑著稱的數學也不例外。一、第一次數學危機從某種意義上來講，現代意義下的數學，也就是作為演繹系統的純粹數學，來源予古希臘畢達哥拉斯學派。但是，畢氏學派大約在公元前400年發現：直線上存在不對應任何有理數的點。特別是，他們證明了：這條直線上存在點p不對應於有理數，這裡距離op等於邊長為單位長的正方形的對角線。於是就必須發明新的數對應這樣的點，並且因為這些數不可能是有理數，只好稱它們為無理數。無理數的發現，是畢氏學派的最偉大成就之一，也是數學史上的重要裡程碑。 無理數的發現，引起了第一次數學危機。
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  • 3分鐘了解數學史上的第三次數學危機
    在二十世紀以前，數學經歷了極大地兩次考驗。第一個是不可度量的發現，第二個就是微積分基礎的爭論。數學史上的第二次數學危機已經基本解決。嚴格的來說，微積分理論是以實數理論為基礎的，而嚴格的微積分理論又是以集合論為基礎的。即使集合論的相容性尚未證明，但很多人認為解決它這只是時間長短的問題。1900年在巴黎舉行的數學家大會上龐加萊這樣說道：今天我們可以宣稱，完全的嚴格性已經完全達到了！
  • 論數學史與數學哲學的關係
    因此，歷史上數學的發展與當時某種哲學思想的關聯是原初意義上數學史與數學哲學的關係；19世紀後半葉開展現代數學史與數學哲學研究以來，兩者存在著變動的關係———共同研究數學實作則使得兩者的關係比以往任何時候都要密切。關鍵詞：數學史；數學哲學；實作轉向；數學實作一、引言在學術界常識性的理解中，數學史與數學哲學具有天然的聯繫。
  • 數學史上的三次大危機,你都了解嗎?
    寫在前面矛盾是無處不在的，數學正是由化解矛盾而發展起來的，這其中有很多非常深刻的矛盾值得人深思。危機數學史上貫穿了矛盾，同時也貫穿著人們對於矛盾的討論。當一個矛盾激化到可以影響整個數學基礎的時候，就會產生數學危機。而對於這種危機的化解，往往就是數學史上的新發展，可以將原本是數學拓展到更加深層次的領域上去。
  • [趣味數學]數學史上的三次危機
    這一悖論直接觸犯了畢氏學派的根本信條，導致了當時認識上的"危機"，從而產生了第一次數學危機。　　到了公元前370年，這個矛盾被畢氏學派的歐多克斯通過給比例下新定義的方法解決了。他的處理不可通約量的方法，出現在歐幾裡得《原本》第５卷中。歐多克斯和狄德金於1872年給出的無理數的解釋與現代解釋基本一致。今天中學幾何課本中對相似三角形的處理，仍然反映出由不可通約量而帶來的某些困難和微妙之處。
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  • 數學史上的第三次數學危機
    其實這是著名數學家和哲學家羅素提出的一個悖論：理髮師悖論。這個悖論引發了第三次數學危機！二、羅素悖論及第三次數學危機數學家們發現，從自然數與康託爾集合論出發可建立起整個數學大廈。因而集合論成為現代數學的基石。「一切數學成果可建立在集合論基礎上」這一發現使數學家們為之陶醉。
  • 歷史上有意思的三次數學危機
    在數學的歷史上，有過三次比較重大的危機，第一次是關於無理數的，這次危機把畢達哥拉斯的數學王朝推翻，第二次數學危機是關於微積分的，是常識跟數學之間的契合的問題；第三次數學危機發生在二十世紀初，這次危機涉及到了數學中最基礎的大廈，差點把整個數學理論推翻重來。下面我來跟大夥聊聊這三次有意思的事件。