數學史上的三次數學危機
從哲學上來看，矛盾是無處不存在的，即便是數學中也有大大小小的許多矛盾，例如正與負、加與減、微分與積分、有理數與無理數、實數與虛數等。在整個數學發展過程中，還有許多深刻的矛盾，例如有窮與無窮、連續與離散、存在與構造、邏輯與直觀、具體對象與抽象對象、概念與計算等等。在數學史上，貫穿著矛盾的鬥爭與解決。當矛盾激化到涉及整個數學的基礎時，就會產生數學危機。而危機的解決，往往能給數學帶來新的內容、新的發展，甚至引起革命性的變革。數學的發展就經歷過三次關於基礎理論的危機。
第一次數學危機
第一次數學危機發生在公元前580～568年之間的古希臘， 無理數的發現，引起了第一次數學危機。 古希臘數學家畢達哥拉斯建立了畢達哥拉斯學派,由畢達哥拉斯提出的著名命題「萬物皆數」是該學派的哲學基石，而「一切數均可表成整數或整數之比」則是這一學派的數學信仰。畢達哥拉斯定理提出後，其學派中的一個成員希帕索斯考慮了一個問題：邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢？他發現這一長度既不能用整數表示，也不能用分數表示,希帕索斯的發現導致了數學史上第一個無理數√2 的誕生。小小√2的出現，卻在當時的數學界掀起了一場巨大風暴，它直接動搖了畢達哥拉斯學派的數學信仰，直接導致了人們認識上的危機，從而導致了西方數學史上一場大的風波，相傳希伯索斯因這一發現被投入海中淹死，史稱「第一次數學危機」。
最後這場危機通過在幾何學中引進不可通約量概念而得到解決。兩個幾何線段，如果存在一個第三線段能同時量盡它們，就稱這兩個線段是可通約的，否則稱為不可通約的。正方形的一邊與對角線，就不存在能同時量盡它們的第三線段，因此它們是不可通約的。很顯然，只要承認不可通約量的存在使幾何量不再受整數的限制，所謂的數學危機也就不復存在了。
第一次數學危機的最大意義導致了無理數地產生，是畢氏學派的最偉大成就之一，也是數學史上的重要裡程碑。但第一次危機的真正解決是在1872年德國數學家對無理數的嚴格定義，因為數學是很強調其嚴格的邏輯與推證性的。
第二次數學危機
第二次數學危機指發生在十七、十八世紀，圍繞微積分誕生初期的基礎定義展開的一場爭論。微積分的雛形早在古希臘時期就形成了，阿基米德的逼近法實際上已經掌握了無限小分析的基本要素，直到2100年後，牛頓和萊布尼茲開闢了新的天地——微積分。微積分的主要創始人牛頓在一些典型的推導過程中，第一步用了無窮小量作分母進行除法，當然無窮小量不能為零；第二步牛頓又把無窮小量看作零，去掉那些包含它的項，從而得到所要的公式，在力學和幾何學的應用證明了這些公式是正確的，但它的數學推導過程卻在邏輯上自相矛盾．焦點是：無窮小量是零還是非零？如果是零，怎麼能用它做除數？如果不是零，又怎麼能把包含著無窮小量的那些項去掉呢？兩種答案都會導致矛盾。牛頓對它曾作過三種不同解釋：1669年說它是一種常量；1671年又說它是一個趨於零的變量；1676年它被「兩個正在消逝的量的最終比」所代替。但是他始終無法解決上述矛盾。萊布尼茲曾試圖用和無窮小量成比例的有限量的差分來代替無窮小量，但是他也沒有找到從有限量過渡到無窮小量的橋梁。1734年英國大主教貝克萊寫文章攻擊流數(導數)，他說「用忽略高階無窮小而消除了原有的錯誤，是依靠雙重的錯誤得到了雖然不科學卻是正確的結果」。還有一些數學家和學者，也批判過微積分的一些問題，指出其缺乏必要的邏輯基礎。例如，羅爾曾說：「微積分是巧妙的謬論的匯集。」在那個勇於創造時代的初期，科學中邏輯上存在這樣那樣的問題。由此而引起了數學界甚至哲學界長達一個半世紀的爭論，造成了第二次數學危機。
直到19世紀20年代，一些數學家才比較關注於微積分的嚴格基礎。波爾查諾給出了連續性的正確定義；阿貝爾指出要嚴格限制濫用級數展開及求和；柯西在1821年的《代數分析教程》中從定義變量出發，認識到函數不一定要有解析表達式；他抓住極限的概念，指出無窮小量和無窮大量都不是固定的量而是變量，無窮小量是以零為極限的變量；並且定義了導數和積分；狄裡赫利給出了函數的現代定義。在這些工作的基礎上，威爾斯特拉斯消除了其中不確切的地方，給出了現在通用的極限的定義，連續的定義，並把導數、積分嚴格地建立在極限的基礎上。中間經歷了半個多世紀，基本上解決了矛盾，結束了數學中暫時的混亂局面，同時也宣布了第二次數學危機的徹底解決。
第三次數學危機
第三次數學危機是由1897年的突然衝擊而出現的，這次危機是由於在康託的一般集合理論的邊緣發現悖論造成的，從整體上看到現在還沒有解決到令人滿意的程度。1897年布拉利和福爾蒂提出了集合論中的第一個悖論（最大序數悖論），1899年康託爾發現了最大基數悖論。由於這兩個悖論都涉及集合中的許多複雜理論，所以在數學界未能引起大的注意。1902年羅素發現了一個悖論（簡稱羅素悖論），它非常淺顯易懂，而且所涉及的只是集合論中最基本的東西。所以，羅素悖論一提出就在當時的數學界與邏輯學界內引起了極大震動，而它所引起的巨大反響則導致了第三次數學危機。羅素悖論的精確表述：如果存在一個集合A={x | x A }，那麼Ax是否成立？如果它成立，那麼x∈A，不滿足A的特徵性質。如果它不成立，A就滿足了特徵性質。羅素悖論使整個數學大廈動搖了，它一開始就牽涉到無窮集合，而現代數學如果脫離無窮集合就可以說寸步難行。因為如果只考慮有限集合或至多是可數的集合，那絕大部分數學將不復存在。而且即便這些有限數學的內容，也有許多問題要涉及無窮的方法，比如解決數論中的許多問題都要用解析方法。由此看來，第三次數學危機是一次深刻的數學危機。
危機產生後數學家紛紛提出自己的解決方案。人們希望能夠通過對康託爾的集合論進行改造，通過對集合定義加以限制來排除悖論，這就需要建立新的原則。1908年策梅羅提出第一個公理化集合論體系稱為ZF公理系統。這一公理化集合系統彌補了康託爾樸素集合論的缺陷，除ZF系統外，如諾伊曼等人提出的NBG系統等。數學家們通過將集合的構造公理化成功排除了集合論中出現的悖論，從而第三次數學危機就在一定程度上解決。