狄利克雷和狄利克雷函數

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      狄利克雷（Dirichlet）的故事

狄利克雷（Dirichlet）是數學史上第一位重視概念的人，並且是有意識地「以概念代替直覺」的人。

在狄利克雷之前，數學家們主要研究具體函數，進行具體計算，他們不大考慮抽象問題，但狄利克雷之後，事情逐漸變化了，人們開始考慮函數的各種性質，例如（圖像的）對稱性、增減性、連續性等。具體函數、具體函數的計算逐漸淡化了。

1837年，狄利克雷認為怎樣去建立x與y之間的關係無關緊要，他拓廣了函數概念，提出了自變量x與另一個變量y之間的現代觀念的對應關係。指出：「對於在某區間上的每一個確定的x值，y都有確定的值，那麼y叫做x的函數。」狄利克雷的函數定義抓住了概念的本質屬性，出色地避免了以往函數定義中所有的關於依賴關係的描述，只需有一個法則存在，使得這個函數取值範圍中的每一個值，有一個確定的y值和它對應就行了，不管這個法則是用公式、圖象、表格或是其他形式表示。這個定義簡明精確，比前面的定義更帶有普遍性，以完全清晰的方式為所有數學家無條件地接受，為理論研究和實際應用提供了方便。至此，我們已可以說，函數概念、函數的本質定義已經形成，這就是人們常說的經典函數定義。

       狄利克雷（Dirichlet）函數

為此，他舉出了個著名的例子：

這屬於一個人造函數，而這個函數本身卻給我們帶來很多深刻的思考。 

1、狄利克雷函數（Dirichlet function）是一個定義在實數範圍上、值域不連續的函數。狄利克雷函數的圖像以Y軸為對稱軸，是一個偶函數，它處處不連續，處處極限不存在，不可黎曼積分。這是一個處處不連續的可測函數。

2、實數域上的狄利克雷（Dirichlet）函數表示為：

（k，j為整數）也可以簡單地表示為上面分段函數的形式D(x)。

3、狄利克雷函數具有三個特點：

（1）沒有解析式：使函數概念從解析式中解放出來。
（2）沒有圖形：是函數概念從幾何圖形中解放出來。
（3）沒有實際背景：是函數概念從客觀世界的的束縛中解放了出來。

4、基本性質
（1）定義域為整個實數域R；
（2）值域為{0,1}；
（3）函數為偶函數；
（4）無法畫出函數圖像，但是它的函數圖像客觀存在；
（5）以任意有理數為其周期，無最小正周期（由實數的連續統理論可知其無最小正周期）。

5、分析性質
（1）處處不連續；
（2）處處不可導；
（3）在任何區間內黎曼不可積；
（4）函數是可測函數；
（5）在單位區間[0,1]上勒貝格可積，且勒貝格積分值為0（且任意區間以及R上甚至任何R的可測子集上（區間不論開閉和是否有限）上的勒貝格積分值為0 ）
     註：對性質5的說明：雖然m(R/Q)=+∞，但在R/Q上有f(x)=0，符合可積條件（說明中Q為有理數集）。

                 狄裡克雷簡介

狄裡克雷（Dirichlet，Peter Gustav Lejeune，1805～1859），德國數學家。1805年2月13日生於迪倫，1859年5月5日卒于格丁根。中學時曾受教於物理學家G.S.歐姆；1822～1826年在巴黎求學，深受J.B.J.傅立葉的影響。回國後先後在布雷斯勞大學、柏林軍事學院和柏林大學任教27年，對德國數學發展產生巨大影響。1839年任柏林大學教授，1855年接任C.F.高斯在哥廷根大學的教授職位。

狄裡克雷對數論、數學分析和數學物理有突出貢獻，是解析數論的創始人之一。

在分析學方面，他是最早倡導嚴格化方法的數學家之一。1837年他提出函數是x與y之間的一種對應關係的現代觀點。

在數論方面，他是高斯思想的傳播者和拓廣者。1833年狄裡克雷撰寫了《數論講義》，對高斯劃時代的著作《算術研究》作了明晰的解釋並有創見，使高斯的思想得以廣泛傳播。1837年，他構造了狄裡克雷級數。1838～1839年，他得到確定二次型類數的公式。1846年，使用抽屜原理。闡明代數數域中單位數的阿貝爾群的結構。

在數學物理方面，他對橢球體產生的引力、球在不可壓縮流體中的運動、由太陽系穩定性導出的一般穩定性等課題都有重要論著。1850年發表了有關位勢理論的文章，論及著名的第一邊界值問題，現稱狄裡克雷問題。

狄利克雷函數的出現，表示數學家對數學的理解發生了深刻的變化。數學的一些「人造」特徵開始展現出來這種思想也標誌著數學從研究「算」轉變到了研究「概念、性質、結構」，狄利克雷是數學史上第一位重視概念的人。並且是有意識地「以概念代替直覺」的人。

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