平行線的判定及其性質

提要

平行線的判定及其性質是初中幾何的基本內容，是進一步研究幾何問題的基礎，難點主要有兩個方面：一個是「三線八角」識別，這是正確運用性質與判定的基礎；另一個是性質與判定的區分。

知識全解

一．平行線

（1）概念：在同一平面內，不相交的兩條直線稱為平行線，用符號「‖」表示，在同一平面，兩條直線的位置關係只有兩種：相交或平行。

（2）基本性質

①經過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行

②如果兩條直線都和第三條直線平行，那麼這兩條直線也互相平行，即a‖b，c‖b，那麼a‖c。

二．平行線的判定、

（1）同位角相等，兩直線平行。

（2）內錯角相等，兩直線平行。

（3）同旁內角互補，兩直線平行。

三．平行線的性質

（1）兩直線平行，同位角相等。

（2）兩直線平行，內錯角相等。

（3）兩直線平行，同旁內角互補。

提示：平行線的性質是兩直線平行以後才有角之間的關係，而平行線的判定是在已知某些角之間的關係條件下，得到兩直線平行的結構。為了有效區分性質與判定，可記住下列口訣：「已知平行用性質，要證平行用判定」。

方法點撥

類型1 判定兩條直線位置關係

例1 如果所示，PE平分∠BEF，PF平分∠DFE，∠1=35度，∠2=55度，AB與CD平行嗎

【分析】由PE與PF分別為角平分線，得到兩對角相等，根據∠1與∠2的度數，求出∠BEF與∠EFD的度數之和為180度，利用同旁內角互補兩直線平行即可說明。

【解答】AB‖CD，理由如下：

∵PE平分∠BEF，PF平分∠DFE，∠1=35度，∠2=55度

∴∠1=∠BEP=1/2∠BEF，∠2=∠PFD=1/2∠EFD

∴∠BEF=70度，∠EFD=110度，即∠BEF+∠EFD=180度

∴AB‖CD

【點評】解答這一類問題的關鍵是將條件轉化為同旁內角，再判定。

類型2 判定角度之間的關係

例2 如圖所示

E在直線DF上，B在直線AC上，若∠AGB=∠EHF，∠C=∠D,試判斷∠A與∠F的關係，並說明理由

【分析】因為∠AGB=∠DGF,∠AGB=∠EHF，所有∠DGF=∠EHF，則BD‖CE，∠C=∠ABD，又因為∠C=∠D，所有DF‖AC，，所以DF‖AC，故∠A=∠F

【解答】∠A=∠F，理由如下

∵∠AGB=∠DGF，∠AGB=∠EHF

∴∠DGF=∠EHF

∴BD‖CE

∴∠C=∠ABD

又∵∠C=∠D

∴∠D=∠ABD

∴DF‖AC

∴∠A=∠F

【點評】解答這類問題可採用兩種思考方式，一種是根據條件逐步推出結論，另一種是根據結論逆向思考，尋求解答所需的條件，再結合已知條件解答。

類型3 添加平行線求角度

例3 如圖所示，

AB‖EF，BC⊥CD於C，∠ABC=30度，∠DEF=45度，則∠CDE等於（）

A.105度 B.75度 C.135度 D.115度

【分析】本題的條件中雖然給出了平行線與垂直，還給出了兩個具體角的大小，但與要求的角無直接關係，可考慮添加平行線將問題轉化，過點C和D作平行線，將要求的角轉化到兩個已知角中。

【解答】過點C作CM‖AB，過點D作DN‖AB

又∵AB‖EF

∴AB‖CM‖DN‖EF

∵AB‖CM，∠ABC=30度，則∠BCM=30度

又∵BC⊥CD，則∠BCD=90度

∴∠MCD=∠BCD-∠BCM=90-30=60度

∵CM‖DN

∴∠MCD=1=60度

∵DN‖EF

∴∠DEF=∠2=45度，即∠CDE=∠1+∠2=60+45=105度

故選A

【點評】熟練掌握平行線的條件和特徵，並能靈活運用是求解本題的關鍵，充分運用條件，及時利用輔助線將問題轉化是正確求解的前提。對於兩條平行線間「折線」與「拐角」問題，一般是在拐點處作平行線，從而構造出一些相等的角或互補的角，將問題轉化。