數學思維的變通性在解題中的應用探討

2020-09-03 金陵人文地理


數學思維的變通性在解題中的應用探討

楊光德

摘 要：在日常的生活、工作和學習中遇到的數學等實際問題多種多樣、變化無常，在這樣的問題情景中我們該如何發散思維，深抓問題的本質，發揮思維其強大的變通性、活用性與實用性，真正做到數學思維在解題過程中由「一」到「一」（「一道」到「一類」、「一件事」到「一類事」）的自然、平穩、切合實際的過渡！

關鍵詞：數學思維 變通性 數學思想 解題方法 滲透

一、數學思維的變通性。

基於目前中小學在解題過程中遇到的數學基本等問題千變萬化，然在具體的解題中，要想即解題速度快、解題方法好、正確率高的解題效果，僅僅利用一套固有的思想及思想方法方法難免在解題的道路上倍感「孤獨」之意。須得擁有具有相當的「邏輯的嚴密性、思維變通性、解題的趣味性及方法的多樣性」大號多角度的解題組合拳，要善於抓住題設蘊含的相關信息，高度展現數學思想及數學思想方法的活用性、變通性與實用性。針對具體的問題情景，抓住關鍵點，各個擊破。真正做到解題由「一道」到「一類」的平穩過渡！

數學本身具有高度抽象的特性,在平時的學習和練習中中,需要學生合理地使用數學方法,使得數學數學的精髓（數學思想）融入到日常的教學中,以此才能真正使教學有所突破、有所創新、得到永久的長足發展。學生也只有將數學的思想和方法融入到實際學習中才能深入了解數學知識的實質及問題的本質。

根據數學思維變通性的特點，筆者將從以下三個方面具體闡述在教學中應當滲透的數學思想以及教學的必要性。滲透「方法」、了解「思想」、掌握「技能」，通過方法理解思想。通過思想指引方法,在掌握重點、突破難點中,有意識地運用數學思想方法等展開分析，從而提高學生的學習興趣,使他們都能在學習中自覺形成數學思想。

（ [1]田建剛.數學思想和方法——打開初中數學教學大門的「金鑰匙」[J].考試周刊,2018(11):95.）

二、要善於關注隱藏的生成內容。

觀察是我們認識事物最基本的途徑。感覺與知覺是人們認識美好事物的初級形式的方法和手段，然觀察則是知覺在進一步升華過程中所體現的意義和境界，具有目的性質、計劃性質持久性質的知覺形態。在具體的解題過程中，任何一道題都包含著相當的數學條件和數量關係，我們要依靠目的的具體特性，對題設進行深入、精細和透徹的觀察與辨別，而後認真思考，由「一道」到「一類」的平穩過渡！

例題1：請試對此數列求和

數列的學習在嚴格意義上來講，經過系統的學習是普通高中《必修5》的內容，但就此題而言在初中就以接觸，發現並不符合等差或等比數列的性質。換句話說利用等差或等比數列的求和公式解決不了，而要解決此題的具體方法就是注重對此式的觀察。

分數的相加，對於此式，通分依然艱難，但由於每項都是相鄰自然數的積的倒數，且滿足因此此式等於則實際問題就解決了！

觀察表面上是外在的形式，本質上是要通過觀察看清實質問題之所在，認識問題的基本方法和基本策略本例知識給出一個代數的基本問題，倘若放在幾何上，圖形的觀察給予我們思考和猜想的空間、給出了我們試錯的嘗試和證明的階段性成長的過程！

三、要善於聯想與之匹配的內容。

聯想是我們為解決問題而利用的轉化橋梁。對於稍加難度的問題必然是各簡單的、分散的知識間的另一種契合與組裝，就會顯得不明顯、不清晰。由此問題就會變得間接化和複雜化。然對於此，解決的關鍵在於能否觀察到本題的固有特診以及所蘊含的知識體系，問題的背景，從此聯想並活用出相應的知識與技能！從而實現「由點到線、線到面」的的知識細緻深入並過渡。

例題2：請試解此方程組

此題明確指出兩數之和與兩數之積，由此便聯想到「韋達定理」，於是將方程組專化為一元二次方程轉化到此方法較多，很容易解決此題。所以聯想可以在一定的程度上將問題變得更加的簡單！

聯想是由此及彼地過渡性思考的數學方法，教師在傳授知識的過程中，要善於培養和教會學生發散思維，多維度、全方位地有效滲透數學思考和聯想，不僅可以達到義務課程標準地實質性要求更能夠有效的實現「數學育人」的強大的、頑強的生命力。

四、要善於轉化與之匹配的內容。

轉化試解決問題的一種十分重要的思維及方法。轉化的本質在於如何將「複雜的問題簡單化、簡單的問題精細化、抽象的問題具體化以及未知的問題已知化」。而這種轉化當然是等價的轉化，通過合理的變化、整合原有的模式，將其轉為熟知的內容。也即是將抽象的問題進行分解，轉化為熟知的、能夠理解的學習內容。以便提升解題的實用性。在觀察問題並解決問題時不僅「要善於關注隱藏的生成內容、要善於聯想與之匹配的內容更需要尋求轉化的關係與轉化的特點！」

例題3：請討論函數在區間上的單調性。

此題明確指出討論函數在區間上的單調性，對於單調性的討論和證明，有定義，但是對於與此題而言，倘若運用定義難免會更複雜，那麼如何講其轉化為簡單的、熟知的問題就顯得尤為重要！所以我們將此問題聯想到通過導數來研究函數在給定的閉區間上的單調性，問題就會顯得更加的簡單。

合理的運用轉化的數學思想，可以有效地促進學生解題水平提升，教師應當有針對性地培養學生將問題轉化的能力。分別在幾個方面展開：「一是將數學問題轉化為情景問題。而是將數學問題轉化為前知問題。三是將數學問題轉化為簡單問題。四是將數學問題轉化為生成問題」此種思想方法理應受到從教者的高度重視。

五、數學思想方法的滲透需注重的注意事項。

凡是得講究方式方法，無效的方式會適得其反，有效的方式將實現不同程度上的大轉變，在高中數學的教學中，數學思想方法的教學可以在直觀的情境教學的引入之下取得更好的效果，從而促進學生對相關內容的深入理解。不過在創設情景的過程中，教師要注意時間的控制，要用最少的時間取得更好的效果。

（[2]張江濤.高中數學思想方法教學中引入情境的研究[J].學周刊,2020(01):32.）

六、結語。

通過以上三個的問題具體並結合實例地闡述，善於關注、善於聯想、善於轉化是數學的基本思想和方法，是數學思維傳承的具體體現，也是數學思想本質上的認識，學生在學習過程中對數學思想及思想方法有著深入、較好、細緻的掌握本質上來講也即是對數學精髓滲透和掌握。

數學思想方法合理滲透的教學有助於學生數學能力的全方面的發展，然而思想方法比較抽象，因此，教師在教學中要特別注重思想方法的引入時須得注重方式方法，要讓學生易理解、易吸收、易接納，這樣才能讓學生更好地將數學的思想方法滲透在學生的認知層面，才能更好的全面落實新課改實行以來的相關要求！

參考文獻：

[1]呂麗.等價轉化思想在高中數學解題中的應用[J].中國校外教育,2019(29):79-80.

[2]曾淡華.淺談如何在數學教學中滲透轉化思想[J].小學教學參考,2019(23):37-38.

[3]陶積斌.數學思想方法在初中數學教學中的有效滲透[J].課程教育研究,2019(51):142.

[4]田建剛.數學思想和方法——打開初中數學教學大門的「金鑰匙」[J].考試周刊,2018(11):95.

[5]張江濤.高中數學思想方法教學中引入情境的研究[J].學周刊,2020(01):32.

相關焦點

  • 數學合作探究學習模式探討
    關鍵詞：數學；合作探究；學習1.探索數學的探究式教學應用的途徑1.1在教學中轉變數學的傳統教學觀念在傳統的數學教學中，「填鴨式」教學在師生的學習觀念中已經根深蒂固，學生在學習中，對教師的依賴性已經形成固有的學習慣習。
  • 從數學解題思維出發,解密高考機器人的工作原理
    借鑑計算機視覺理論創始人馬爾的三級論定義，機器學習中關於數據的處理與分析，包含三個方面：首先是應用問題導向，主要應用是已有的模型和方法解決一些實際問題，相當於數據挖掘；其次是應用問題的需要，提出和發展模型、方法和算法以及研究支撐它的數學原理或者理論基礎等，這是核心；第三就是通過推理達到某種智能。
  • 數學解題的八種思維方法
    數學解題的八種思維方法解答數學題有八大常見的思維方法：抽象思維，邏輯思維，數形結合，分類討論，方程思維，普適思維，深挖思維，化歸思維。下文有途網小編帶大家具體分析下這些數學思維方法如何應用!
  • 這是最簡單的解題方法，卻能揭示數學應用題的本質
    一招攻克數學應用題今天探討小學中年級的數學應用題解法。開始我猶豫是不是用視頻的方式表達觀點，視頻直觀形象，但是我還沒有掌握那些技巧，既講題又能分析方法，只好用圖文的方式表達觀點。如果您堅持讀完了，那麼，恭喜你我，我講明白了，您聽進去了。
  • 對數學轉化思想的理解,以及其在解題中的應用,所產生的一些反思
    上一篇文章中，談到了數學分類討論思想，而本篇文章中，來重點談一談數學的另一個思想——轉化思想。所謂的轉化思想是指在解決數學問題時，一個數學對象在一定條件下轉化為另一種數學對象的思想。這些在解決數學問題時，轉化的思想能夠起到巨大的作用，因此學生對轉化思想的掌握尤其重要。
  • 數學 | 小學數學應用題解題策略歸納(純乾貨)
    「心頭大患」，因為它既要綜合應用小學數學中的概念性質、法則、公式、數量關係和解題方法等最基本的知識，還要具有分析、綜合、判斷、推理的能力。以下是總結的小孩子數學應用題解決方法。數量關係是指應用題中已知數量和未知數量之間的關係，只有搞清數量關係，才能根據四則運算的意義恰當的選擇算法，把數學問題轉化為數學式子，通過計算進行解答。數量關係分析法分為三步：（一）尋找題中的數量。（二）明確各數量間的關係。
  • 反例在初中數學課堂中的有效應用
    ［摘 要］在數學教學課堂當中，很多教師會引入「反例」。在邏輯學中，所謂反例，是相對於某個全稱命題的概念。反例在數學、哲學和自然科學中都有重要的應用。以反例作為探討的突破口，對反例在初中數學課堂引入過程中常見的問題，以及反例的應用技巧等進行了相關探索和分析。
  • 生活中:學會舉一反三,讓思維更具有變通性
    故事中的這兩位村民為什麼有如此的不同？很簡單，因為背棉花的村民不懂變通，只憑一套哲學，便欲強渡人生所有的關卡。而另外一位村民則善於及時審視自己的行為。的確，在追求目標的路上，應審慎地運用你的智慧，做最正確的判斷，選擇屬於你的正確方向。
  • 向量的極化恆等式在解題中的應用
    例析向量的極化恆等在解題中的應用向量是高中數學一個非常重要的內容，它集數與形於一身，既有代數的抽象性，又有幾何的直觀性，是形象思維與抽象思維的有機結合。近幾年來，在新課程的引領下，各省市高考試題湧現了一些以向量為背景的好題，有些省市甚至是以向量為突破口來實現高考試題命制的創新。
  • 小學數學常見的典型應用題——差倍問題的解題方法
    #小升初數學#差倍問題也是小學數學常見的典型應用題之一，要解決這類應用題，就要清楚它的概念、常用的數量關係式和解題關鍵 。它是應用兩個數相差多少以及這兩個數相差幾倍，從而推出1倍數是多少。結合例題，你是否掌握了差倍問題的解題方法呢？希望以上內容可以幫到大家，如果你還有什麼好的方法或者是其它的問題，歡迎留言評論，我們一起交流探討，共同進步。上一篇：
  • 高中數學解題研究,矩形特殊性質在平面向量解題中的巧妙應用
    備戰高考數學，每天積蓄力量高中生數學學霸鍛造「1天1道」行動【點評】此題運用矩形性質解題顯得特別的方便快捷。【點評】此題除了用題目中的矩形性質解題，還可以用建系法做。總結：矩形的性質我們用上面8個例子來說明它在高中數學中的應用，現在主要講一下哪些地方用到這個性質，題目有什麼樣的特徵，一般是向量題裡面居多，而且一般都會有垂直二字，或者向量乘積等於0等字眼，我們抓住這類特徵，運用矩形性質來解題會很方便。
  • 初中數學教學,解題策略實踐研究,養成反思的習慣,培養應用意識
    數學是一門培養學生思維能力、解決問題能力的學科，解題方法與策略的滲透與教學尤為重要。本文就數學解題策略的學習的意義進行了闡述，並對數學教學過程中的解題策略進行了分類說明，為初中數學課堂教學中引導學生學習解題策略提供了參考。加強應用意識是教育改革的需要。重視數學應用是數學教學改革的需要。
  • 數學解題方法
    數學解題方法◆ ◆ ◆文 | 高中數學解題研究會「換元」的思想和方法，在數學中有著廣泛的應用，靈活運用換元法解題，有助於數量關係明朗化，變繁為簡，化難為易，給出簡便、巧妙的解答。在具體運用判別式時，（1）（2）中的係數都可以是含有參數的代數式。從總體上說，解答數學題，即需要富有普適性的策略作宏觀指導，也需要各種具體的方法和技巧進行微觀處理，只有把策略、方法、技巧和諧地結合起來，創造性地加以運用，才能成功地解決面臨的問題，獲取良好的效果。分析法和綜合法源於分析和綜合，是思維方向相反的兩種思考方法，在解題過程中具有十分重要的作用。
  • 高中數學解題思維延展訓練1——向量解題模型一
    高中數學學習很難一蹴而就，一要穩紮穩打，各種知識積累，譬如從小學初中開始的蝴蝶模型，抽屜原理等，譬如高中的阿基米德焦點三角形，柯西不等式，洛必達法則等等；二要站在巨人的肩膀上，學習前輩整理的解題模型。數學高考題目每年都會有一定比例的新題型，如果沒有知識積累與儲備，考試時認識學習它們？如果別人的解題方法寫完一道題目3分鐘，你用10分鐘寫完，你能答完試卷嗎？所以知識積累是根本，解題模型是利器。然而有些同學知道了一些解題模型，可是題目變換後還是解不出題目。什麼原因呢？
  • 怎樣解題:我的數學解題線路圖!
    羅增儒：我與數學解題（學數學、學解題&教數學、教解題）之後一直有讀者在知乎和公眾號後臺問我，到底什麼叫做科學的思維方法？到底如何解題？數學的解題理論有很多專家都曾經表述過，比較出名的是波利亞的《怎樣解題》，國內的羅增儒也有相關的著作。我個人的解題思想受波利亞的影響很大，當然這裡不多說理論，我舉一些例子，來展示一下我的解題線路圖。
  • 小學數學常見的典型應用題——和差問題的解題方法
    #小學數學應用題解題的關鍵要解決和差問題，首先要找出兩個數的和是多少，然後再找出這兩個數的差是多少，在用兩數的和加上兩數的差等於大數的2倍，可以求出大數，或者用兩數和減去兩數差等於小數的2倍，可以求出小數。要注意，如果以上兩數和或兩數差沒有直接給出，必須根據已知條件先求出來。4.
  • 特值法在初中數學解題中的應用舉例
    特值法是數學解題中運用的非常多的一種方法，在數學的解題中經常運用的到。在用特值法的時候，一定要注意所取的特值必須要符合題目的條件，雖然是特值但有不能任意取值，必須要符合題目的限定條件。在運用特值法解題的時候，為了防止所取的特值具有特殊性和意外性，可以多娶幾個特值進行分析和運算，以便得到準確 的結果。特值法在客觀題，也就是選擇題和填空題中運用的比較多，在解答題中因為需要有運算和論證的過程，一般不太適用。
  • 高中數學經典的解題技巧和方法經典歸納(導數及其應用)
    導數及其應用是高中數學考試的必考內容，而且是這幾年考試的熱點跟增長點，無論是期中、期末還是會考、高考，都是高中數學的必考內容之一。因此，學姐針對這兩個部分的內容和題型總結歸納了具體的解題技巧和方法，希望能夠幫助到高中的同學們，讓同學們有更多、更好、更快的方法解決數學問題。
  • 考研數學應用拉格朗日中值定理解題訓練
    ----以利用中值定理證明等式或不等式為例 　　考研數學中證明題雖不能說每年一定考，但也基本上十年有九年都會涉及。等式的證明包括使用四個微分中值定理，一個積分中值定理；不等式的證明有時即可使用中值定理。這裡泰勒中值定理的使用是一個難點，但考查的概率卻不大。
  • 讓小學數學分數應用題關係的思維可視化訓練,效果明顯
    教師要讓學生對於小學數學分數應用題關係形成思維可視化效果，須練就「爐火純青」的本領。一、掌握解題步驟，具體化展示過程。小學數學應用題主要分為一般應用題、生活統籌應用題和列方程解答應用題。三類應用題的解題步驟大致相同，只是列方程解答應用題多了一步寫「解：設問題的答案或中間問題為X單位量」，然後根據解方程的方法與驗算方法進行解答即可。解題步驟也就可以具體化展示出來：1、讀懂題意；2、理清關係；3、正確計算（列方程解答要先寫「解：設」）；4、檢驗答案；5、寫出答案。二、讀懂題目題意，形象化表達要求。