解代數方程(六):終篇——伽羅瓦理論

2021-02-23 Tiny Discovery

伽羅瓦理論是代數發展史上由古典代數進入近世代數的裡程碑。古典代數的中心問題是解代數方程和方程組，為此人們發展了矩陣學和線性代數學。與此同時，高次方程的求解問題在幾個世紀裡也是數學家們的探索對象。16世紀義大利數學家找到三次和四次方程的一般解法，人們又花費200多年試圖尋找五次及以上方程求解公式，直到1770年法國數學家拉格朗日才開始意識到一般五次方程可能不存在代數解法。1824年，22歲的挪威大學生阿貝爾證明一般五次方程的根式不可解，不幸的是其於1829年4月6日早逝於肺結核。另一個同樣年輕又有才華的法國數學家伽羅瓦繼承了阿貝爾的工作，深刻地闡明了用根式求解代數方程的理論基礎。他們兩個的天才想法是研究方程根之間的置換，由此產生了群的概念。這使得他們的工作意義遠超出解代數方程的範圍，而成為群論以致於近世代數的開拓者。

人物簡介：埃瓦裡斯特·伽羅瓦(Évariste Galois, 1811--1832)

伽羅瓦是法國巴黎附近一小鎮鎮長的兒子。15歲時一口氣讀完了高斯、歐拉、勒讓德等數學家的著作。1828年，17歲的伽羅瓦將論文《關於五次方程的代數解法問題》提交法蘭西科學院，但是柯西等人不僅沒有認真審閱，反而丟失了原稿。1832年，伽羅瓦第三次將論文送去審查，當時法蘭西科學院院士泊松的審查意見是「完全不能理解」。後來伽羅瓦兩次投考巴黎著名的工科大學失敗，只能進入高等師範學院。當時法國激烈的政治鬥爭吸引了熱情而又精力旺盛的伽羅瓦，他因參加政治活動而兩次入獄並被學校開除。1832年4月出獄後不久在與別人的決鬥中負重傷，5月31日上午10時去世。決鬥前夕，他將自己的研究成果和未完成的想法寫成長信交給朋友，但沒有一家出版商願意出版其手稿。直到14年後的1846年，法國數學家劉維爾才在自己創辦的「數學雜誌」上刊印了伽羅瓦的遺稿。

19世紀後期，人們才真正意識到阿貝爾和伽羅瓦的工作對代數學發展劃時代的影響。

1894年，德國代數和數論學家戴德金(Dedekind, 1831--1916)【高斯最後一個學生】對伽羅瓦理論作了系統的闡述，並強調域論。1948年，德國數學家阿廷(Artin, 1898--1962)所寫的關於伽羅瓦理論的講義成為後人的樣板。

為了充分了解伽羅瓦理論，先要補充一些繼群後的基本代數結構：環和域。

環

集合R，二元運算+和 · ，設<R，+，· >是代數系統，滿足

<R,+>構成交換群；<R, · >構成半群；·運算關於+運算滿足分配律。

則稱<R, +, · >是一個環。

如果對R裡面的所有a，b還滿足ab=ba,則稱R為交換環。

域

設<R, +, · >是環

乘法 · 滿足交換律稱R為交換環；

乘法 · 存在單位元稱R為含么元；

非零元做乘法仍是非零元，則稱R為無零因子環；

滿足前三點的R稱為整環；

若R是整環，且至少含有兩個元素，且對於R去0後的集合都有逆元，則稱R為域。

一個含么交換環K如果K中每個非零元素均是（乘法）可逆的，則稱K為域。如果K是域F的子域，則稱F為K的擴域或擴張。記為F/K。

凡是數域都包含0和1，由1就可以生成有理數域Q。若一域中的數均為實數，則稱為實域。實域不等於實數域。

若係數屬於數域K的多項式P(x)可表為兩個係數亦屬於K且次數≥1次的多項式乘積，則稱此多項式在K上可約，否則稱為不可約。p(x)=0稱為域K上的方程。

如x^2+1在實數域R上不可約，但在複數域C上可約。

實數域R是有理數域Q的擴域，有理數域Q是實數域R的子域。任何數域都是Q的擴域。

設F是任一數域，對任一a屬於F，aF必屬於F，且當a≠b時aT≠bT，同時滿足

(a+b)T=aT+bT,(ab)T=aT·bT，則稱變換T為數域F的一個自同構變換。

一數域F的全體自同構變換G按上面規定的乘法構成一個群——數域F的自同構變換群。

設數域F上的方程f(x)=0，數域N是其根域，則稱N在F上的自同構群G為方程f(x)=0的伽羅瓦群。G中任一變換T必將f(x)=0的根變為f(x)=0的根，且原來不同的根變換後仍是不同的。

上述例子說明尋找伽羅瓦群時必須說明方程所在的域。

怎樣的方程才可以用代數方法求解？

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相關焦點

  • 伽羅瓦理論之美
    今天我們使用伽羅瓦理論來論證這一點的時候，論證過程為「方程xp-1=0（p為素數）在有理數域Q上的伽羅瓦群同構於素數階模p同餘類乘群Zp，而Zp是循環群，必為可解群，因此方程xp-1=0可根式求解。」甚至我們可以類似的論證p不為素數時的方程xn-1=0在Q上的伽羅瓦群同構於模n同餘類乘群Z』n，為可換群（阿貝爾群），必為可解群，因此方程xn-1=0可根式求解。
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    在拉格朗日之後，義大利數學家魯菲尼開始猜測高次方程沒有根式解，但他終其一生也沒能取得突破，只是得到了猜測：如果方程有根式解，那麼這一根式必定是方程的根和單位根的有理多項式。伽羅瓦與伽羅瓦理論所幸的是，在阿貝爾之後，法國天才數學家伽羅瓦（1811~1832）繼承了他的思想，並進一步發展了相關理論，特別地，伽羅瓦深入研究了置換群論，徹底弄清了方程與根之間的關係，並最終形成了如今強大的
  • 走向抽象——伽羅瓦理論
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  • 伽羅瓦的傳奇人生
    最近複習高等數學的時候重溫了群論創始人伽羅瓦的傳奇人生，想給大家聊聊。伽羅瓦去世的時候僅21歲，但就是在這短暫的一生中，幾乎以一己之力開創了數學的一個分支——群論。把數學帶到一個全新的高度。我用大家能理解的語言來描述一下這件事的偉大。
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    那麼，可用根式求解的是所有的高次方程，還是部分高次方程？這便成為擺在數學家面前的一個難題。就在高斯證明了代數學基本定理3年後的1802年，又一數學新星阿貝爾在挪威的芬諾誕生了，他的成果轟動了世界。伽羅瓦理論的誕生阿貝爾未竟的事業，由一位比阿貝爾小9歲的極富傳奇色彩的法國青年伽羅瓦擔當起來。
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  • 關於伽羅瓦的記憶
    在法國，約瑟夫·阿爾弗雷德·塞雷（1819—1885）研究了伽羅瓦論文的體系結構，並把它與方程論之間的關聯視為一個結構整體。接著，他試圖復原伽羅瓦著作的各個要點，並通過「法國式」方程論傳統（從數學家拉格朗日到柯西）表達出原作者所省略的部分。因此，他為學生創立了「伽羅瓦理論」，它被視為對經典方程理論的補充和鞏固（Serret 1849）。
  • 流星隕落——數學天才伽羅瓦
    伽羅瓦寫了幾篇大文章，並提出自己的全部著作來應徵科學院的數學特獎。但在這裡，他又一次遭到了新挫折：      年僅18歲的伽羅瓦漂亮地解決了當時數學界的頂級難題：為什麼五次及五次以上的多項式方程沒有一般的解。
  • 伽羅瓦究竟有多牛快進來膜拜吧
    天主教牧師的攻擊和誹謗而自殺，學業受挫，父親蒙冤去世，剛成年的伽羅瓦就遭受巨大打擊，但伽羅瓦並沒有退怯，他選擇了迎難而上，在悲傷中，整理了關於代數方程解的論文，並提交給了法國科學院，希望能得到認可，當時接手這篇論文的，是赫赫有名的數學家柯西，可柯西卻不小心，將文章連通摘要都弄丟了，次年2月，伽羅瓦再次將方程式論的結果，寫成三篇論文，參與當年科學院的數學大獎，審核伽羅瓦論文的
  • 這個無解的方程,拉開了現代數學的帷幕
    如今的物理和數學顯然已經無法想像沒有群論的日子，算術和拓撲的交融是現代數學中一個極其神秘的現象，伽羅瓦群則在其中扮演著重要的角色。認真觀察伽羅瓦群與拓撲中的基本群，會發現兩者十分相似。為了更深入地理解拓撲本質，20 世紀數學界頂級天才格羅滕迪克提出了今天仍然神秘的 Motive 理論，而伽羅瓦的理論在這裡可以看作零維的特殊情況。
  • 伽羅瓦:從古典到現代
    關於一般的代數方程，伽羅瓦清晰的定義了什麼是根式可解，即方程的根能被其係數通過四則運算及開方運算表示。事實上，用更數學的語言來表達，叫做方程的兩個根具有對稱性。推廣到高次方程，這種對稱性依然存在，這意味著方程的根無法通過根與係數的關係直接區分。而要使得方程具有根式解就必須找到打破對稱性的方程。伽羅瓦的靈氣就在於他深刻洞察到了這樣一個事實：通過對方程係數所在的有理數域進行域擴張是得到根式解的必由之路。同時他還意識到，可以得到不滿足根的對稱性的關係方程與存在使該方程不再成立的根的置換函數等價。
  • 從伽羅瓦到諾特,看抽象代數的誕生與發展
    伽羅瓦理論——抽象代數的誕生伽羅瓦於1811年出生， 16 歲時候才接觸數學，他在一年的時間裡，自學了法國著名數學家勒讓德爾的《幾何原理》、那末拉克朗日的《論數值方程解法》、《解析函數論》、《函數演算講義》，還逐漸熟悉了歐拉、高斯、雅科比的著作。
  • 伽羅瓦,解得開數學史上最高深的方程,卻解不開愛情的本質
    學理科的鋼鐵直男應該知道，數學的高次方程在四次以後根式解就戛然而止，換言之用根式解在四次方程後已經行不通。當時的歐拉，高斯，拉格朗日這樣最偉大的數學大神在高次方程面前無一不敗下陣來，甚至拉格朗日驚嘆地說：「高次方程的根式解是不可能解決的數學問題之一，這是在向人類的智慧挑戰！」
  • 科學網—中法學者追憶數學天才伽羅瓦
    本報訊（記者魯偉攝影報導）「伽羅瓦雖然英年早逝，但卻照亮了數學界一個不為人知的隱秘天地。」 1811年，伽羅瓦出生在法國巴黎附近的拉賴因堡。1832年，這位未滿21歲的數學家與世長辭。伽羅瓦最主要的成就是提出了「群」的概念。為了紀念他，人們把用「群論」的方法研究代數方程根式解的理論稱為伽羅瓦理論。
  • 從「一元五次方程」到「群論」的艱辛歷程,那是一首悲壯的史詩
    1824年，阿貝爾將他這篇生命中最為重要的研究成果寫成論文《一元五次方程沒有代數一般解》，寄給了當時的數學權威高斯，可惜並沒有得到高斯的回覆。後來他又寄給科學院秘書傅立葉，這位大數學家由於工作實在是太忙，只是匆匆地讀了論文的引言，便交給了大數學家柯西審查，結果柯西將論文帶回家中之後，競然弄丟了。
  • 數學史20大數學家之—阿貝爾和伽羅瓦,頭角崢嶸之際便與世長辭
    伽羅瓦第一位：尼爾斯阿貝爾，這位挪威的數學家是第一個發現了一般的5次方程的沒有求根公式的人。他僅僅用了6頁紙解決了這個困擾了數學界250多年的難題。要知道當年義大利數學家魯菲尼論述一元五次方程求解的文章可有500頁之多。他還提出了橢圓函數中那個著名的阿貝爾方程式。阿貝爾與伯努利類似祖上都是商人，也曾富甲一方，可惜家道中落。不過阿貝爾還是順利地從大學畢業，而且在數學方面表現突出。地處北歐的挪威，位於當時學術研究中心法德輻射圈的外沿。阿貝爾打算出國求學，但這卻成了他人生的轉折點。
  • 【史上今日】悲情天才數學家埃瓦裡斯特•伽羅瓦205周年誕辰
    於是，他開始閱讀了歐拉、高斯、雅克比等人的著作，同時還自學研究了勒讓德的《幾何原理》和拉格朗日的《代數方程的解法》、《解析函數論》、《微積分學教程》。讀完這些著作後他充滿了信心，也就是從16歲起，開始致力於高次方程根式解法的研究。他相信他有可能做得比他們更好。你要知道，這時他還是一位中學生。
  • 解五次方程,竟然要靠蒙?
    「考場上蒙題，我最在行哈哈哈」阿貝爾的這篇論文，證明了五次方程沒有一般解，只可惜當時沒有引起人們的重視，也許是時運不濟，後來的他在數學上突破發現從未間斷，卻未能獲得世人的認可，即便遭受如此不公的對待，阿貝爾對於數學的初心從未改變。