回顧人類文明持續向前發展的每一步，充滿了艱辛與坎坷，特別是從「一元五次方程」到「群論」的歷程，更是一個偶然加必然的意外收穫，無數的數學家為此付出了畢生的精力與心血，年輕的數學家阿貝爾與伽羅瓦在追尋真理的路上英年早逝，為此所作出的重要貢獻，是人類文明進程中最為悲壯的史詩，在歲月的長河中迴響不絕，這到底是怎樣一個令人感慨的故事呢？這還得從我們習以為常的一元一次方程說起。
早在小學的高年級階段，我們就開始接觸「一元一次方程」，在數學史上，「一元一次方程」最早出現於公元前1600年的古埃及時期。經過漫長的歲月，最終於1859年，由中國數學家李善蘭正式譯為一元一次方程。
在一元一次方程出現之前的漫長歲月裡，人們在處理工程、行程、分配、盈虧等問題時，只能使用「算術」這個工具，解決起來非常的困難。當「一元一次方程」發明之後，人們只需尋找等量關係和設未知數，就可以快捷地解決大量生活、生產中的問題。
比起「一元一次方程」來，「一元二次方程」出現得更早。早在公元前2000年左右，古巴比倫的數學家就能解一元二次方程了。大約公元前480年，我們的祖先也已經使用配方法求得了「二次方程」的正根。
公元820年，阿拉伯數學家花剌子模在他的《代數學》中第一次給出了「一元二次方程」的一般解法，也首次承認了包括「無理根」在內的「兩個根」。
隨著社會的發展，更多的問題需要更高次的方程。在16 世紀時，義大利數學家塔塔利亞、卡爾達諾、費拉利等人，分別用「根式法」求解出了三次方程與四次方程的根。
回顧從「一元一次方程」到「一元四次方程」的歷程，雖然經歷了漫長的歲月，但總的來說還算順利。
當數學家們興致勃勃地試圖繼續用「根試法」尋找一元五次方程的解時，卻遇到了前所未有的困難。數學家們經歷了長達三百多年前僕後繼的努力之後，沒有人取得成功。就連大數學家拉格朗日不得不坦言：「這個問題好像是在向人類的智慧挑戰」。
1799年，義大利數學家魯菲尼首次證明了「高於四次的一般方程的不可解性」，但其「證明」 存有缺陷。1818年，年僅16歲的挪威數學家阿貝爾，在研究了魯菲尼等前人總結的成果之後，堅定地對他的老師說：「讓我來解答這一歷史難題吧，我能證明四次以上的方程是否有解。」
年輕而聰明的阿貝爾經歷了六年時間的艱辛努力，於1824年，他修正了魯菲尼論證中的缺陷，還證明了魯菲尼之前未加證明的關鍵性命題，人們稱之為阿貝爾定理，這也是最早的「置換群」的思想，阿貝爾就是應用這一思想證明了「高於四次的一般方程」不能有「根式解。」
1824年，阿貝爾將他這篇生命中最為重要的研究成果寫成論文《一元五次方程沒有代數一般解》，寄給了當時的數學權威高斯，可惜並沒有得到高斯的回覆。後來他又寄給科學院秘書傅立葉，這位大數學家由於工作實在是太忙，只是匆匆地讀了論文的引言，便交給了大數學家柯西審查，結果柯西將論文帶回家中之後，競然弄丟了。
無奈之下，阿貝爾最終於1826年將它的論文刊登在了朋友新創辦的雜誌第一期上。人們將他的成果與魯菲尼的成果合稱為「阿貝爾—魯菲尼定理」。
阿貝爾—魯菲尼定理證明了「五次及更高次的代數方程沒有一般的代數解法」，但是也發現有的方程能用根式解。來不及給出判斷證明什麼情況下能用根式解，什麼情況下又不能用根式解。年輕的阿貝爾的才能由於沒能及時得到學術界的認可，以至於他連最基本的生活都無法得到保障，一直處於貧病交加的困境之中，來不及完成這些工作，就因病去世了。
阿貝爾逝世之後，他的遺作有一篇未完成的手稿：「關於函數的代數解法」，為後來伽羅瓦遺作的出版開闢了道路。幾年後，伽羅瓦接過他的工作，用「群」的方法徹底解決了「代數方程」的可解性理論問題，也就是後來著名的「伽羅瓦理論」。
1829年，伽羅瓦將他在代數方程解的結果呈交給法國科學院，沒想到這次論文跟阿貝爾的論文的命運一樣，也落到柯西的手裡被弄丟了。
真是屋漏偏遭連夜雨，當伽羅瓦在學術上處處碰壁的時候，噩耗傳來了，他的父親因為在政治活動中被人惡意中傷而自殺。
在學術上心灰意冷的伽羅瓦轉向了政治運動，為他的父親復仇。1830年12月，伽羅瓦因抨擊校長被學校退學，最終因政治原因下獄。在監獄中，伽羅瓦依然放不下他熱愛的數學研究，不斷地修改著他那篇不被學術界認可的論文。
1832年3月，他在獄中狂熱地愛上了一位醫生的女兒，並且接受了情敵的決鬥。在決鬥前的那一個晚上，他已經心無所戀，唯一放心不下的就是他這些年來苦心研究出來的數學成果。他交代他的朋友，在他死後一定要將這些數學成果想辦法公之於眾。
他的朋友按照他的遺願將這些數學論文寄給眾多的數學家，以期得到幫助，但是都石沉大海。直到1843年，這篇論文才被大數學家劉維爾看到。
劉維爾注意到了伽羅瓦用「群論」的方法去討論方程式的可解性，他被伽羅瓦這種獨創而深邃的理論所震憾。劉維爾經過三年時間的努力，終於將這一偉大成果公之於眾。
「一元五次方程」是否有根式解這一延續了三百多年的難題終於塵埃落定。數學家們在漫長的歲月裡解決這一難題的過程中，所收穫的意外成果遠遠大於所得到的答案本身。特別是伽羅瓦所做的工作，使得一門嶄新的數學分支「群論」誕生。伽羅瓦的一整套想法現稱為伽羅瓦理論，構成了當代「代數」與「數論」的基本支柱之一。
人們都說，如果阿貝爾和伽羅瓦等年輕的數學家能夠活到像高斯一樣的年齡，那麼他們所能做出來的成就是無法想像的。然而假設永遠只是假設，他們就像流星一樣過早地消失在了人類文明的夜空，這一切永遠都是人類無法彌補的遺憾，唯有他們的名字，被永遠地鐫刻在人類歷史的豐碑上，被人們所傳頌。