為什麼老師從不講一元三次方程的求解?

一元三次方程

(一)歷史背景
在很多數學文獻上，把三次方程的求根公式稱為「卡爾丹公式」。歷史事實並不是這樣，數學史上最早發現一元三次方程通式解的人，是十六世紀義大利的另一位數學家尼柯洛·馮塔納。

馮塔納出身貧寒，少年喪父，家中也沒有條件供他念書，但是他通過艱苦的努力，終於自學成才，成為十六世紀義大利最有成就的學者之一。由於馮塔納患有「口吃」症，所以當時的人們呢稱他為「塔塔裡亞」， 也就是義大利語中「結巴」的意思。後來的很多數學書中，都直接用「塔爾塔裡亞」來稱呼馮塔納。

經過多年的探索和研究，馮塔納利用十分巧妙的方法，找到了一元三次方程一般形式的求根方法。這個成就，使他在幾次公開的數學較量中大獲全勝，從此名揚歐洲。但是馮塔納不願意將他的這個重要發現公之於世，因為那個年代義大利盛行打數學擂臺賽，馮塔納把他解三次方程的秘訣作為法寶，是他獲得比賽的勝利的寶劍。

當時的另一位義大利數學家兼醫生卡爾丹（有的資料也稱為卡丹，卡爾達諾），對馮塔納的發現非常感興趣。他幾次誠懇地登門請教，希望獲得馮塔納的求根公式。可是馮塔納始終守口如瓶，滴水不漏。雖然卡爾丹諾屢次受挫，但他極為執著，軟磨硬泡地向馮塔納「挖秘訣」。後來，馮塔納終於用一種隱晦得如同咒語般的語言，把三次方程的解法「透露」給了卡爾丹。馮塔納認為卡爾丹諾很難破解他的「咒語」，可是卡爾丹的悟性太棒了，他通過解三次方程的對比實踐，很快就徹底破譯了馮塔納的秘密。

卡爾丹把馮塔納的三次方程求根公式，寫進了自己的學術著作《大法》中，但並未提到馮塔納的名字。隨著《大法》在歐洲的出版發行，人們才了解到三次方程的一般求解方法。由於第一個發表三次方程求根公式的人確實是卡爾丹，因此後人就把這種求解方法稱為「卡爾丹公式」，有的資料也稱為「卡丹公式」。

卡爾丹剽竊他人的學術成果，並且據為已有，這一行為在人類數學史上留下了不甚光彩的一頁。這個結果，對於付出艱辛勞動的馮塔納當然是不公平的。但是，馮塔納堅持不公開他的研究成果，也不能算是正確的做法，起碼對於人類科學發展而言，是一種不負責任的態度。

卡爾丹是第一個把負數寫在二次根號內的數學家，並由此引進了虛數的概念，後來經過許多數學家的努力，發展成了複數的理論。從這個意義上，卡爾丹公式對數學的發展作出了巨大貢獻，史稱"卡爾丹公式"是偉大的公式。

(二)求解過程

(1)回顧一元二次方程的求解

這裡我們先回顧一下，一元二次方程： 求解方法，其實就是通過配方將問題轉為一個簡單二次方程和一個一般一次方程：

即我們的：

這就是我們要湊出一個完全平方式的目的，因為這樣可以將未知的問題轉化為已知的問題。

(2)一元三次方程的簡化

對於一元三次方程的解答，也和一元二次方程一樣的思路，需要將其轉換為一個簡單的三次方程和一個一般一元二次方程：

首先，(實係數)三次方程的一般形式如下:

其中

方程兩邊同時除以首次項係數，便得到：

其中：

設：  ，便可消去二次項，得到：

其中：

(3)轉換三次方程為二次方程

我們通過多元來降低次數。令  代入上述方程：

展開上述左邊，化為如下：

觀察上述式子，如果：

 

那問題就簡單了。

因為此時我們將  看成兩個數的話，我們就有機會得到兩數之和、兩數之積了。這樣就根據一元二次方程的根與係數關係，很快就能得到答案。

於是可設：

  ,

並令：  ，則U、V是如下方程的兩個根：

於是得到二次方程的解：

  .

而v由  等式所確立，因此只要解出u即可。

令：  ，根據一元二次方程的判別式知：∆≥0時，方程才有解。這也是為什麼在文藝復興時期，尼科洛·馮塔納只能解係數p大於0的情況。

但是當∆<0時，u沒有實數解，由於思維定勢，我們很容易誤判原三次方程沒有實數解。

(4)複數的引入

為了解釋清楚∆<0的情況，我們不得不採用複數的指數形式。這樣做還有另外一個好處，就是對於上述不管「∆<0」的所有情況，我們都能找到統一的答案。

對任何一個非0複數，我們都能找到唯一表達：三角形式或者說指數形式。（r、θ分別稱為複數z的模長和幅角）

其中

由於u、v的對稱性，於是我們將關於u的三次方的二次方程重新寫成如下形式：

於是u的三個根分別為：

由於，所以z的三個根分別為:

因此∆<0時，由於共軛複數的關係，三次方程有三個實根。

(三)解一元三次方程的意義

由於一元三次方程本身的複雜性，其求解公式比較複雜、缺乏直觀性，而且某些情況下並沒有實數解，因此在初高中階段教學意義不是很明顯。

但是一元三次方程的解答思想卻是有著很好的參考價值，而且它的解答導致了複數概念的誕生，其應用到現在看來已經是非常的廣泛了。

它的求解和二次方程一樣，採用了配方的方法，將未知問題轉換為已知問題。

解一元三次方程問題是世界數學史上較著名且較為複雜而又有趣味的問題，虛數概念的引進、複數理論的建立，就是起源於解三次方程問題。

一元三次方程應用廣泛，如電力工程、水利工程、建築工程、機械工程、動力工程、數學教學及其他領域等。

用根號解一元三次方程，雖然有著名的卡爾丹公式，並有相應的判別法，但是使用卡爾丹公式解題比較複雜，缺乏直觀性。

上世紀80年代，中國的一名中學數學教師範盛金對解一元三次方程問題進行了深入的研究和探索，發明了比卡爾丹公式更實用的新求根公式——盛金公式，並建立了簡明的、直觀的、實用的新判別法——盛金判別法，同時提出了盛金定理，盛金定理清晰地回答了解三次方程的疑惑問題，且很有趣味。

關於盛金公式，有興趣的朋友可以關注我們公眾號後續的推送。