關於條件為「如圖拋物線y=ax2+bx+c」的試題

中公教師網小編為大家整理了以「如圖拋物線y=ax2+bx+c」為條件的試題，希望對大家有所幫助。

試題

如圖拋物線y=ax²+bx+c（a＜0）與雙曲線相交於點A，B，且拋物線經過坐標原點，點A的坐標為（﹣2，2），點B在第四象限內，過點B作直線BC∥x軸，點C為直線BC與拋物線的另一交點，已知直線BC與x軸之間的距離是點B到y軸的距離的4倍，記拋物線頂點為E．
（1）求雙曲線和拋物線的解析式；
（2）計算△ABC與△ABE的面積；
（3）在拋物線上是否存在點D，使△ABD的面積等於△ABE的面積的8倍？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

參考答案

解：（1）∵點A（﹣2，2）在雙曲線y=上，∴k=﹣4，∴雙曲線的解析式為y=﹣，∵BC與x軸之間的距離是點B到y軸距離的4倍，∴設B點坐標為（m，﹣4m）（m＞0）代入雙曲線解析式得m=1，∴拋物線y=ax2+bx+c（a＜0）過點A（﹣2，2）、B（1，﹣4）、O（0，0），∴，解得：，故拋物線的解析式為y=﹣x²﹣3x；（2）∵拋物線的解析式為y=﹣x²﹣3x，∴頂點E（﹣，），對稱軸為x=﹣，∴B（1，﹣4），∴﹣x²﹣3x=﹣4，解得：x₁=1，x₂=﹣4，∴C（﹣4，﹣4），∴S_△ABC=5×6×=15，由A、B兩點坐標為（﹣2，2），（1，﹣4）可求得直線AB的解析式為：y=﹣2x﹣2，設拋物線的對稱軸與AB交於點F，則F點的坐標為（﹣，1），∴EF=﹣1=，∴S_△ABE=S_△AEF+S_△BEF=××3=；（3）S_△ABE=，∴8S_△ABE=15，∴當點D與點C重合時，顯然滿足條件；當點D與點C不重合時，過點C作AB的平行線CD，其對應的一次函數解析式為y=﹣2x﹣12，令﹣2x﹣12=﹣x²﹣3x，解得x₁=3，x₂=﹣4（捨去），當x=3時，y=﹣18，故存在另一點D（3，﹣18）滿足條件．綜上可得點D的坐標為（3，﹣18）或（﹣4，﹣4）．

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拋物線相關知識點

平面內，到定點與定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線。其中定點叫拋物線的焦點，定直線叫拋物線的準線。

拋物線是指平面內到一個定點F(焦點)和一條定直線l(準線)距離相等的點的軌跡。它有許多表示方法，例如參數表示，標準方程表示等等。 它在幾何光學和力學中有重要的用處。 拋物線也是圓錐曲線的一種，即圓錐面與平行於某條母線的平面相截而得的曲線。拋物線在合適的坐標變換下，也可看成二次函數圖像。

四種方程

拋物線四種方程的異同

共同點：

①原點在拋物線上; ②對稱軸為坐標軸;

③準線與對稱軸垂直，垂足與焦點分別對稱於原點，它們與原點的距離都等於一次項係數的絕對值的1/4

不同點：

①對稱軸為x軸時，方程右端為±2px，方程的左端為y^2;對稱軸為y軸時，方程的右端為±2py，方程的左端為x^2;

②開口方向與x軸(或y軸)的正半軸相同時，焦點在x軸(y軸)的正半軸上，方程的右端取正號;開口方向與x(或y軸)的負半軸相同時，焦點在x軸(或y軸)的負半軸上，方程的右端取負號。

切線方程

拋物線y2=2px上一點(x0,y0)處的切線方程為：yoy=p(x+x0)

拋物線y2=2px上過焦點斜率為k的切線方程為：y=k(x-p/2)

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