二次函數圖象拋物線頂點位置與係數a、b、c的關係

2021-02-19 初中數學課外提升

我的公眾號我做主

學完二次函數後，老師們都要給學生們進行系統的複習。在複習中一定有這樣的專題複習課：二次函數解析式中係數a、b、c的作用，今天我用GGB動態數學軟體研究 二次函數圖象拋物線頂點位置與係數a、b、c的關係（純屬個人好奇，還得請各位大咖們批評指正）

一、二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象和性質

a的正負

 a>0

           a<0

大致

圖象

 

 

開口方向

     向上 

     向下 

頂點

坐標

 

 

對

稱

軸

 

 

增

減

性

在對稱軸右側，y 隨x 的增大而增大

在對稱軸左側，y 隨x 的增大而減少

在對稱軸右側，y 隨x 的增大而減少

在對稱軸左側，y 隨x 的增大而增大

 

最 

值

 

 

 


二、二次函數的圖象特徵與係數a、b、c的關係


作用

字母符號

圖象的特徵


決定開口方向

a＞0

開口向上

    a      （上正、下負）

a＜0

開口向下

    

決定拋物線與y軸交點的位置

c ＞0

交y軸的正半軸

    c，交點的坐標為（0，c）

c=0

過原點

         （上正、下負）

c＜0

交y軸的負半軸

 

共同決定對稱軸的位置，

ab＞0

對稱軸在y軸左側

   a，b     對稱軸為直線

ab=0

對稱軸為y軸


   （左同、右異）

ab＜0

對稱軸在y軸右側

 

 

b2-4ac>0

與x軸有兩個交點

b2-4ac決定拋物線與x軸交點的個數

 b2-4ac=0

與x軸有一個交點



b2-4ac<0

與x軸沒有交點


三、常見特殊式子

 特

a+b+c

x=1時的y值與x軸的位置

   殊

a-b+c

x=-1時的y值與x軸的位置

   式

4a+2b+c

x=2時的y值與x軸的位置

   子

4a-2b+c

x=-2時的y值與x軸的位置


四、二次函數圖象拋物線頂點位置與係數a、b、c的關係

二次函數的一般式：y=ax2+bx+c(a≠0),

1、當待定係數b、c確定，請看a變化時的動態演示

視頻中a從負數逐漸增大到正數（包括0），b=4, c=-3,即拋物線y=ax2+4x-3我們來看有哪些變化？

①a從負數逐漸增大到0時，拋物線的開口向下，開口大小逐漸變大；

②a=0不是拋物線而是一條直線，即y=4x-3（是不是直線可以看成拋物線開口無窮大，請專家們給與指導）；

③a從0逐漸增大到正數時，拋物線的開口向上，開口大小逐漸變小；

④拋物線的頂點在一條直線y=2x-3上,除去與y軸的交點(0,-3)。


視頻中b從負數逐漸增大到正數，a=0.5, c=-2,即拋物線y=0.5x2+bx-2我們來看有哪些變化？

b從負數逐漸增大到正數時

①開口方向、大小形狀不變；

②拋物線的頂點在另一條拋物線y=-0.5x2-2上運動


3、當待定係數a、b確定，請看c變化時的動態演示

視頻中c從負數逐漸增大到正數，a=0.5, b=4,即拋物線y=0.5x2+4x+c我們來看有哪些變化？

c從負數逐漸增大到正數時

①開口方向、大小形狀不變；

②拋物線的頂點在一條直線上x=-4上運動

以上三種情況下拋物線的頂點位置直接和a、b、c有關，GGB軟體給我們研究含參二次函數拋物線頂點位置時提供了直觀的發現。其實這些含參拋物線頂點的位置完全可以利用頂點坐標公式和設元消參的方法來研究頂點的位置。  

舉例說明：寫出下面二次函數

的頂點所在函數圖像的表達式？

         

∴通過頂點坐標公式和設元消參判斷出原拋物線的頂點在另一條拋物線上運動。

今天所寫的是本人在學習GGB動態數學軟體中畫含參二次函數圖像時的一些觀察和想法，還有很多不成熟的地方有待後續改進。可以肯定的是，藉助於現代科技能夠幫助我們看到無法想像的世界，也為人類去發現新的問題和解決問題提供了一個很好的途徑。

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