二次函數圖象與係數的關係最全總結!

二次函數是初中數學的重點也是難點內容之一，它的圖象是一條拋物線，其形狀、開口方向、位置等與表達式中的係數的關係非常密切。所以，二次函數圖象與a、b、c的關係是非常重要的一個知識點，今天，小培就為大家總結一下二次函數圖像與係數的關係變化。

 1. a決定拋物線的開口方向及大小 

a>0，拋物線開口向上

a<0，拋物線開口向下

|a|越大，拋物線的開口越小

|a|越小，拋物線的開口越大

我們知道拋物線平移前後形狀及開口方向不變，只是位置發生改變，那麼只要兩個二次函數的a相同，那麼就可以由其中一個二次函數通過平移得到另一個二次函數.

圖象：拋物線開口向上，a>0，拋物線開口向下，a<0,開口大的拋物線的|a|小於開口小的拋物線的|a|.

圖象示例：

 2. a、b共同決定拋物線對稱軸的位置 

對稱軸的位置

具體內容：

上述當b≠0時，a、b的符號及對稱軸與y軸的位置可簡記為「左同右異」

　　

圖象：對稱軸在y軸，則b=0,對稱軸在y軸左側，根據「左同右異」判斷a、b同號，對稱軸在y軸右側，根據「左同右異」判斷a、b異號.

圖象示例：

 3. c決定拋物線與y軸交點的位置 

具體內容：

c=0，拋物線過原點

c>0，拋物線與y軸交於正半軸

c<0，拋物線與y軸交於負半軸

可根據c是拋物線與y軸交點的縱坐標來理解記憶這一點內容

圖象示例：

 4. b2-4ac決定拋物線與x軸的交點的個數 

具體內容：

圖象示例：

 5. 特例 

當x=1時，y=a+b+c

當x=-1時，y=a-b+c

當x=2時，y=4a+2b+c

當x=-2時，y=4a-2b+c

若a+b+c<0，即當x=1時，y<0

若a-b+c>0，即當x=-1時，y>0

當對稱軸為直線x=1時，則2a+b=0

當對稱軸為直線x=-1時，則2a-b=0

從上述中我們可以得出從二次函數的圖象也可以得出關於係數a、b、c的相關信息，做此類問題一定要注意數形結合.

例1二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則點在  （   ）

A.第一象限       B.第二象限

C.第三象限       D.第四象限

【分析】根據圖象開口向下可得a<0，根據對稱軸在y軸右側可得a、b異號，則b>0，拋物線與y軸交於正半軸，可得c>0，所以<0，則點M（b，）符合第四想像點的坐標特徵（+，-），故選D.

 

例2  若拋物線y=ax2+3x+1與x軸有兩個交點，則a的取值範圍是 （   ）

A.a＞0              B.a＞- 4/9

C.a＞ 9/4          D.a＜9/4且a≠0

【分析】根據拋物線與x軸有兩個交點，則b2-4ac>0，即32-4a×1>0，解得a＜9/4，根據二次函數定義可知a≠0.故選D.

▲易錯警示▲不要忽視二次函數表達式中二次項係數不為0這一條件.

 

例3  已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，下列結論：

① a+b+c＜0，②a-b+c＞0； ③ abc＞0；④b=2a 中正確個數為（   ）

A.4個     B.3個    C.2個      D.1個

 【分析】

a+b+c是當x=1時y的值，根據圖象可知當x=1時，圖象上對應的點在x軸下方，則y=a+b+c<0，故①正確；

a-b+c是當x=-1時y的值，根據圖象可知當x=-1時，圖象上對應的點在x軸上方，則y=a-b+c>0，故②正確；

根據圖象開口向下可得a<0，根據對稱軸在y軸左側，可得a、b同號，故b<0，根據圖象與y軸交於正半軸可得c>0，所以abc>0，故③正確；

由圖象得拋物線的對稱軸為直線

x=-b/2a=-1，則b=2a，故④正確；故本題選A.

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