拋物線上的a、b、c

2021-03-05 王道初中數學

天地有大美而不言，數學亦然！

二次函數y=ax2+bx+c的圖像與a、b、c有什麼樣的關係呢？這期就讓我們一起來學習吧。

a

a決定拋物線y=ax2+bx+c的開口方向與大小。

1、a＞0，拋物線開口向上；a＜0，開口向下。

2、|a|越大，拋物線的開口越小。

以上兩條結論反過來也對。有人認為應該分三種情況討論，第三種是a=0。同學們，我該怎麼回答呢？

練習1：

如圖1，圖中的（1）、（2）、（3）、（4）分別是二次函數y=x2，y=0.1x2，y=-0.1x2，y=-2x2。請寫出它們的對應關係。

圖1

（1）                          （2）            

（3）                          （4）            

答案：（1）y=0.1x2   （2） y=x2  

（3） y=-0.1x2   （4）y=-2x2。

b

a、b的符號共同決定對稱軸的位置

1、當b=0時， x=-b/2a=0，故對稱軸是直線x=0（y軸）。

2、當a、b同號（或ab＞0）時，x=-b/2a＜0，此時對稱軸位於y軸的左側。

3、當a、b異號（或ab＜0）時，x=-b/2a＞0，此時對稱軸位於y軸的右側。

以上三條結論，反過來也對。

練習2  請根據圖2、圖3、圖4填空。

在圖2 中，ab     0。

在圖3 中，ab     0。

在圖4中，ab     0。

答案：=，＞，＜。

另外，在中考中，還經常讓我們判斷2a+b或2a-b的符號，以下稍做分析。

一般來說，比較-b/2a與1的大小可得2a+b與0的大小關係；比較-b/2a與-1的大小可得2a-b與0的大小關係。

例1：

（1）請根據圖4，判斷2a+b與0的關係。

∵對稱軸x=-b/2a＞1

∴-b＜2a   （因為2a＜0，所以不等式兩邊乘2a，不等號的方向要改變）

∴-b-2a＜0

∴2a+b＞0

（2）請根據圖3，判斷2a-b與0的關係。

由圖可知，x=-b/2a＜-1

∴b/2a＞1

∴b＞2a（注意：兩邊乘2a，不等號方向沒有改變，為什麼？）

∴2a-b＜0

（3）思考，若對稱軸x=1，那麼a與b存在什麼樣的等量關係?如果x=-1呢？

C

c決定拋物線y=ax2+bx+c與y軸的交點位置。這個交點坐標是（0，c）。

易得以下結論

1、        當c＞0時，拋物線與y軸的交點在正半軸。

2、        當c=0時，拋物線過原點。

3、        當c＜0時，拋物線與y軸的交點在負半軸。

以上三條結論反過來也對

練習3

如圖5，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交於A、B，與y軸交於點C，且OA=OC。求ac+b+1的值。

答案：因為點C（0，c），且OA=OC

所以A（c，0）

易得ac2+bc+c=0

∴ac+b+1=0


b2-4ac

b2-4ac的符號決定拋物線與x軸的交點個數

1、       當b2-4ac＞0時，拋物線與x軸有兩個交點。

2、       當b2-4ac=0時，拋物線與x軸有一個交點。

3、       當b2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點。

以上三條結論反過來也對。

練習4

1、       如圖6，已知拋物線y=ax2+bx+1/a的頂點在x軸上。求b的值。

2、       已知拋物線y=ax2+bx-1/a，請判斷該拋物線與x軸的交點個數。

答案：

1、       b=2（注意由坐標軸位置可知a、b同號）

2、       兩個

a+b+c的兄弟們

拋物線y=ax2+bx+c

判斷a+b+c與0的大小關係，只需令x=1，根據圖像，看此時y的值（y=a+b+c），若點（1，y）在x軸上方，則有a+b+c＞0；若在x軸上，則有a+b+c=0；若在x軸下方，則有a+b+c＜0。

同理，令x=-1，根據圖像，就可判斷a-b+c的符號；令x=2，根據圖像就可判斷4a+2b+c的符號；……

練習5

拋物線y=ax2+bx+c的圖像如圖7，請用＞，＜或=填空。

（1）        a+b+c     0

（2）        a-b+c     0

（3）        4a+2b+c     0

（4）        4a+c      2b

（5）        9a+c      3b

答案：（1）＜  （2）＞  （3）＜   （4）＞ （5）＞

 

這期講的能學會了嗎？下面來測試一下吧。

練習6

1、圖8是二次函數y=ax2+bx+c的圖像，小明同學根據圖像的特徵寫出了以下5個結論，其中正確的是             。（只填序號）

（1）abc＞0（2）2a-b＞0

（3）a+b+c  ＜   0（4）25a-5b+c＜  0

（5）4ac- b2  ＞  0

2、如圖8，拋物線與y軸交於點A，與x軸負半軸交於點B，若有OA=OB，請直接寫出ac-b的值。

答案：

1、（1）、（2）、（4）

其中（1）abc  ＞0（2）2a-b  ＞  0（3）a+b+c  =  0

（4）25a-5b+c  ＜   0（5）4ac- b2    ＜   0

2、ac-b=-1。

解析：由題意可知A（0，c），由OA=OB得，B(-c，0)，代入到y=ax2+bx+c中，可得ac2-bc+c=0，整理得ac-b+1=0，所以ac-b=-1。

 

這期就到這裡，你有什麼收穫呢？朋友們，下期再見！

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