素數定理(2)全體自然數的和為-1/12

2021-02-19 比企谷八幡的數學筆記

      Euler曾經用無窮乘積方法解決巴塞爾問題,即全體自然數的倒數平方和,這在當時不是很簡單的事,雖然現在可以用幾十種方法得到這個結果,例如對f(x)=x在一個周期內做Fourier變換.接著我們嘗試用ζ函數的語言敘述這些發現,這應該是認知ζ的最簡單的方法.

       Euler猜想了一個無窮乘積表達式,在其收斂的情況下,是可以用Taylor展開計算出ζ(2)的.

由於需要求級數的係數,我們考慮對右邊做Laurent展開,這樣就能得到正偶數的一般公式.

以上只討論了在正偶數的情況,這樣的話ζ(s)相當於僅用於計算一些實級數罷了.鑑於一般來說即使是正整數,ζ(s)也很難算,雖然我們知道它大概率是無理數,但這不是易證明的顯然結果.所以,為了更好研究它,接著著眼於其作為復級數的算術性質.同時,有趣的是,Γ函數這裡居然也出現了.

       藉助這個表達式的啟發,類似於此前從階乘解析延拓,這裡可用以上公式模仿之.

       回憶之前曾計算過Γ函數在負整數時候的留數,而我們又通過B_n定義了ζ*Γ在負整數時候的留數,考慮留數的極限定義式,所以可以得到:

其中ζ(-1)的形式正是全體正整數的和,在複變函數裡這是一個解析延拓的值,所以這個-1/12不是通過實數的算術做到的,而是定義出來的,只不過這樣的結果是自然的,也是對後續研究必要的.有興趣可以算算其他負奇數的值,相當於得出自然數的2n+1次方和.

      從這個展開式中還可以得到許多有趣的級數恆等式,不妨利用微分積分與適當的代入來看看還能得到什麼其他的恆等式.

       有關於ζ的函數方程性質,需要在提到素數定理時,再做解釋.

相關焦點

  • 他嘔心瀝血提出素數定理,卻發現別人早就捷足先登
    著名數學家王元院士作序推薦） 一個複數域上的函數——Riemann ζ 函數——的非平凡零點 (在無歧義的情況下我們有時將簡稱其為零點) 的分布怎麼會與看似風馬牛不相及的自然數 (在本系列中自然數指正整數) 中的素數分布產生關聯呢？ 這還得從所謂的 Euler 乘積公式談起。
  • 視頻 | 為什麼 1 不屬於素數?
    質數（Prime number），又稱素數，指在大於1的自然數中，除了1和該數自身外，無法被其他自然數整除的數（也可定義為只有1與該數本身兩個正因數的數）。大於1的自然數若不是素數，則稱之為合數（也稱為合成數）。例如，5是個素數，因為其正約數只有1與5。而6則是個合數，因為除了1與6外，2與3也是其正約數。
  • 《數學提高》什麼是素數,素數有哪些?
    素數又叫質數，素數是指在大於1的自然數中，除了1和它本身以外，不能被其他自然數整除的數。下面是小編整理的詳細內容，一起來看看吧！
  • 不可思議的素數(上)
    與歐幾裡得同時期的德謨克利特提出了「原子論」，認為萬物都是由基本單位「 原子」( a t o m ) 所構成。在古希臘語中，「 a t o m 」 的「 t o m 」 是「 切割、分割」 的意思，「 a 」 是表示否定的接頭詞。也就是說，「 a t o m 」 是「無法分割」的意思。因為整數可以被因數分解成素數，卻不能繼續分解，所以也可以認為素數是「 數的原子」 。
  • 素數大概有多少個?15歲的高斯翻過素數表之後給出了答案
    比如，是否存在無窮多組間隔為2的素數對，任意一個大偶數都是兩個素數的和。。。高斯在1792年研究過一個關於素數的重大問題。一個自然數N以內的素數到底有多少個？N是某個具體的自然數，π(N)是實際上小於等於N的全部素數個數，右邊是「相鄰素數間隔的平均值」。這裡，我們要注意最右邊的這一列數值的意義所在，所謂相鄰素數間隔的平均值，實際上也就是平均要數過多少個自然數才會遇到一個素數。換句話說，在1000以內，素數佔到了1/6，在100億內，素數大約佔到1/22。
  • 為什麼說「任意兩個自然數是素數的概率是6/π^2」
    如果沒有發現，我們繼續往下看首先延續前面的文章，將π^2/6用ζ(z)代替，所有的平方都換成z，也就是將級數換成與與z有關的函數我們來進行美妙的數學推導，不需要你有高等數學基礎，跟著以下思路就可以看懂，將如下第一行的式子乘以1/3^z就變成了如下樣式
  • 美妙絕倫的素數
    素數，又稱質數，是指在大於1的自然數中，除了1和它本身以外不再有其他因數的數。素數在自然數中佔有極其重要的地位，但是它的變化非常不規則。人們至今沒有找到，大概也不可能找到一個可以表示全體素數的有用公式。不過，數學家們已經發現了素數的一些性質。一、素數的重要性質這裡簡單地列幾個質數的重要性質。
  • 素數是什麼,有哪些和素數有關的數學猜想還未得到解決?
    素數素數也叫質數，指大於1的自然數中，除了1和它本身外不再有其他因數的自然數，比如2、3、5、7、11、13……。（1）哥德巴赫猜想猜想內容：任何一個大於2的偶數，都可以寫成兩個素數之和，簡稱「1+1=2」。
  • 希爾伯特第八問題有望終結: 孿生素數猜想獲證!
    證明並不複雜，根據伯特蘭-切比雪夫定理，全集偶數中的任意偶數都可以通過減去任意一個大於中值數的素數得到另一個小於中值數的奇數（含素數），即p+bq=2n，p、q是奇素數，b是正整數，n是大於3的全體自然數，其中p+bq=2n，可等價變換為，（p+q）（1+b）T=2n，即全集偶數2n是可表偶數（p+q）的線性映射，2n=2mc，2m是可表偶數，c是係數向量（1+b）T所對應的特徵值，c取有理數。
  • 為什麼1既不是素數也不是合數?
    1 因數的個數對於這個問題，我們可以參考六年級課本上對於素數的定義：「一個正整數，如果只有1和它本身兩個因數，這樣的數叫做素數（prime number），也叫做質數；如果除了1和它本身以外還有別的因數，這樣的數叫做合數（composite number）.
  • 素數並不孤獨
    它的基礎概念，自然數、加法、乘法，每個小學生都清楚；但關於自然數的定理，卻可以讓人窮盡一生而不得其解。而這篇文章要介紹的，只是這個廣闊海洋中一個小小的海域。即便如此，我們仍未知道此處海深幾何，儘管最近張益唐的突破性工作，使我們比以往更接近真理，但這遠遠不夠。 儘管筆者才疏學淺，有恐貽笑方家。但如能為讀者勾勒出一點點數學之美，也不枉費一番心思。
  • 為什麼素數有無窮多個？
    作者 | 大小吳來源 | 大小吳的數學課堂素數又稱為質數，其定義是在大於1的自然數中，除了1和它本身以外不再有其他因數的自然數；否則稱為合數。素數和合數是一組相對的概念（規定1既不是素數也不是合數）。今天大小吳就將為大家介紹一下「素數有無窮多個」的4種證明方法~在此之前，我們首先來了解一下「算數基本定理」。「算數基本定理:設為一個大於1的自然數，則有其中為某自然數，是素數，並且在不記素數排列次序的意義下，上式分解是唯一的。
  • 你真的相信全體自然數的和等於-1/12嗎? | 科技袁人
    全體自然數的和是-（1/12），也就是1+2+3+4+5+……= -1/12這個說法聽上去就很唬人，那麼到底是不是真的呢？又怎麼會流傳出這種說法的呢？這一集裡面我們都能找到答案。好吧，我們就借這個機會，向大家講清楚這個所謂「全體自然數的和等於-1/12」是怎麼回事。還有許多跟它類似的說法，例如所謂「無窮多個1加起來等於-1/2」，「全體自然數的平方和等於0」，都是同樣的道理，我們順便可以一網打盡。首先，來告訴大家基本的答案：你的常識是正確的，這些說法都是錯誤的，數學並沒有推翻常識。
  • 為什麼會有很多的孿生素數?
    素數，也稱為質數，指在大於1的自然數中，除了1和該數自身外，無法被其他自然數整除的數。孿生素數，也稱為孿生質數、雙生質數，是指一對素數，它們之間相差2。例如3和5，5和7，11和13等等。定義很簡單。但是，一旦人們探索素數及其孿生素數的意義時，就會意識到它們所表現出的極為巨大的體量及其許多微妙的行為，卻不是那麼簡單。
  • 素數有哪些用途,北美洲有一種蟬,利用素數性質來巧妙躲避天敵!
    素數表示只能被1和本身整除且大於1的自然數，其餘大於1的自然數叫做合數，「1」既不是素數也不是合數；算術基本定理指出，任何大於1的自然數，都可以唯一分解為有限個素數的乘積。素數就是構成所有數字的基石，要想了解數字的性質，就必須弄清楚素數的奧秘。
  • 數學家為何對素數著迷,素數規律如何關係著人類的信息安全?
    質數又稱素數，是我們在中學就學習的概念。定義為：自然數中，除了1和它本身外，沒有其他因數的數；比如：2、5、7、11、13、17、19……。與之相反的叫做合數，另外定義"1既不是質數也不是合數」。歐幾裡德在兩千多年前，就證明了質數是無限的，此後的數學家一直在研究素數規律，以至於許許多多的猜想都和素數有關，比如：哥德巴赫猜想、孿生素數猜想、梅森素數猜想、ABC猜想、黎曼猜想等等。
  • 【人人都能欣賞的數學證明】算術基本定理
    還有天上的星雲聚散，等等等等，萬事萬物都在演繹合成和分解的二重奏。在數的世界中也有合成和分解，而其中扮演原子角色的就是素數。素數，又稱質數，指那些大於1，且不能分解成更小的兩個正整數乘積的正整數。比如：1 不是素數。2，3，5，7，11，13，17，19，23，29 和 31 都是素數。
  • 費馬小定理
    費馬小定理問題的提出對於任意給定的一個自然數
  • 帕斯卡三角形 | 素數 | 費馬小定理
    特別聲明，本人未曾授權任何網站（包括微博）和公眾號轉載邵勇「數學教學研究」公眾號的內容。每周推送兩到三篇內容上有份量的數學文章，但在行文上力爭做到深入淺出。幾分鐘便可讀完，輕鬆學數學。 我們今天來講一講帕斯卡三角形與費馬小定理之間的關係。它們之間聯繫的橋梁是素數。
  • 宇宙密碼——素數的自然之美,無數天才為其折腰
    定義：質數是一個只能被1和它本身整除的整數。換句話說，質數是一個自然數p >1，它不能表示為兩個較小自然數的乘積。因此，一個質數有兩個正的因數。算術基本定理(歐幾裡德)：每一個整數P > 1都可以被唯一地寫成有限素數的乘積。要麼是素數本身，要麼可以表示為素數的乘積，而且，這種表示是唯一的，除了因子的順序。