下文摘自圖靈新知《不可思議的數》, [遇見]已獲授權.
1、2、3、4、5、6、7……還能有什麼比這更簡單的嗎？然而這就是數，它們可能是最重要的東西，是它們讓人類擺脫愚昧、步入文明。
每個數有著屬於自己的特點，並且通向數學的各個領域。不過，在逐個研究它們之前，有三大問題值得我們快速地討論一番：數字是怎麼產生的？數的概念是如何發展的？還有，什麼是數？
在大約 35000 年以前的舊石器時代晚期，某個人在一根狒狒的腓骨上刻下了 29 道刻痕。這根骨頭是在位於史瓦帝尼的列朋波山脈的山洞裡發現的，被命名為「列朋波骨」。人們認為它是一根符木，所謂符木就是一種用一連串刻痕記錄數字的東西，這些刻痕就像 |、||、||| 這樣。一個朔望月有 29.5 天，因此這有可能是一種原始的陰曆——當然，也可能是女性的月經記錄。說實在的，它還可能只是一些隨機的刻痕，在骨頭上的塗鴉。
1937 年，卡爾·阿布索隆在捷克斯洛伐克發現了另一根有 55 道刻痕的狼骨符木。它距今大約有 30000 年。
1960 年，比利時地質學家讓·德·海因策林·德·布羅古在一處因火山噴發而被掩埋的小漁村裡，又發現了一根有刻痕的狒狒腓骨。那個地方如今被稱為伊尚戈，位於烏幹達和剛果（金）的交界處。這根腓骨距今大約有 20000 年（圖 1）。
對伊尚戈骨最簡單的解讀認為，它就是一塊符木。一些人類學家從中進一步發現了一些算術內容，例如乘法、除法及質數；另一些專家則認為它是一份 6 個月的陰曆；還有一些專家則堅稱，這些刻痕只不過是為了讓它更好地成為骨器手柄。
圖 1 伊尚戈骨的正面和反面（比利時布魯塞爾國家自然科學博物館藏）
這根骨頭真的很奇妙，它上面有三段刻痕。中間那段刻痕用到了數字 3、6、4、8、10、5、7。3 的 2 倍是 6，4 的 2 倍是 8，5 的 2 倍是 10——不過最後一組數字的順序顛倒了，而數字 7 則完全沒有遵從上述規律。左側刻痕的數是 11、13、17、19，它們是 10 到 20 之間的質數。右側的數是奇數 11、21、19、9。左側和右側的數列之和都等於 60。
想要解釋其中蘊含的規律並不容易，因為在任何短小的數列裡尋找規律都是很困難的。例如，表 1 列出了隸屬巴哈馬的 10 座島的面積。原表格將巴哈馬的全部島按照面積大小排列，這些島位列第 11 位至第 20 位。我打亂了這 10 座島的原有順序，將它們以字母順序排列。我可以保證，這是我第一次做這樣的嘗試。誠然，如果這個例子不能說明我的觀點，我可以再換一個例子——但既然行得通，我就沒換。
你從這些數字「圖案」裡注意到什麼了嗎？它們包含了許多具有共同特徵的短小序列（圖2）。
首先，整個數列呈現出一種美麗的對稱性：兩端各 3 個數組成一組，它們都是 3 的倍數；中間一對數是 10 的倍數，並把兩個 7 的倍數隔開了。另外，數列裡有兩個平方數，分別是 9 = 32 和 49 = 72，同時，這兩個數還都是質數的平方。還有一對相鄰數 15 和 30，一個是另一個的 2 倍。對序列 9, 93, 49 而言，它們都含有數碼 9。除了數列 110, 80, 14 以外，所有數都是一大一小地交替出現的。對了！你有沒有發現，在這 10 個數裡沒有一個是質數。
說得夠清楚了。伊尚戈骨的另一個問題是，人們根本不可能找到額外的證據來支持任何特定的解釋。但它的刻痕真的非常奇妙，到處都是數字謎題。這一點是不爭的事實。
一萬年前，生活在近東地區的人類利用黏土塊上的符號記錄數，這些符號作為憑證，可能被用來徵稅或證明所有權。最早的例證是在伊朗扎格羅斯山脈的阿西阿布山區和甘茲達列赫山區發現的。它們是一些形狀各異的黏土塊，有的上面有符號標記。一個帶「+」的黏土球代表 1 只綿羊，7 個這樣的球代表 7 只綿羊。為簡單起見，人們會用其他形狀的符號代表 10 只綿羊，再用另一種形狀的符號代表 10 只山羊，以此類推。考古學家丹妮絲·施曼特 – 貝塞雷特推測，各種符號代表了當時的基本物品：穀物、動物，還有油。
公元前 4000 年，人們像串項鍊一樣用繩子把黏土塊串在一起。但是，添加或取走黏土塊可以輕而易舉地改變數值，因此，人們引入了一種保障措施。他們把黏土塊裹在黏土裡，然後再把這黏土殼烘乾。事後，只要打破陶土殼，就能知道裡面作為憑證的小黏土塊有多少（圖 3）。從公元前 3500 年開始，為了避免不必要的損壞，美索不達米亞的古代官方機構在陶土殼上刻上符號，列出裹在裡面的憑證數量。
後來，某個聰明人突然意識到，既然有這些符號，陶土殼裡面的黏土塊就變得有些多餘了。於是，書面數字符號系統產生了。這是後來所有記數法的源頭，數字書寫本身可能也源於此。
圖 3 烏魯克文化的陶土殼和作為會計憑證的黏土塊（出土自蘇薩城）
不可思議的數 介紹了各種各樣的數：從常見的自然數0至10到負數，從「簡單」的有理數到複雜多變的有理數和無理數；從已知*大的質數到*小的無窮大。每個數都它自己的故事，而圍繞著這些數，作者不但講述了每個數背後的歷史，更拓展出眾多有趣的數學問題，讓這些數成為帶讀者進入神奇數學世界的「引路人」。
引言 數 1
第一篇 較小的整數 17
第1 章 不可分割的單位 19
第2 章 奇數和偶數 23
第3 章 三次方程 47
第4 章 平方 57
第5 章 畢達哥拉斯斜邊 73
第6 章 吻接數 86
第7 章 第4 個質數 93
第8 章 斐波那契立方數 105
第9 章 幻方 112
第10 章 十進位系統 120
第二篇 零和負數 135
第0 章 「沒有」是數嗎？137
第-1 章 比「沒有」還少 148
第三篇 複數 157
第i 章 虛數 159
第四篇 有理數 167
第1
2
章 分割不可分割 169
第22
7
章 約等於π 176
第466
885
章 漢諾塔 179
第五篇 無理數 189
第2 章 第一個無理數 191
第π 章 圓的測量 198
第φ章 黃金數 213
第e 章 自然對數 223
第
lg 2
lg 3 章 分形 236
第π
18
章 球體填充 247
第12 2 章 音階 255
第ζ(3) 章 阿培裡常數 269
第γ 章 歐拉常數 272
第六篇 一些特別的小整數 275
第11 章 弦理論 277
第12 章 五連方 286
第17 章 多邊形和圖案 295
第23 章 生日悖論 309
第26 章 密碼 316
第56 章 香腸猜想 329
第168 章 有限幾何 332
第七篇 巨大的數 347
第26! 章 階乘 349
第43 252 003 274 489 856 000 章 魯比克魔方 354
第6 670 903 752 021 072 936 960 章 數獨 359
第2^(57 885 161)-1 章 已知最大的質數 362
第八篇 無窮數 367
第 0 章 阿列夫零：最小的無窮大 369
第C 章 連續統基數 378
第九篇 生命、宇宙和…… 383
第42 章 42，一點都不乏味 385