此題求陰影部分面積，若你能解答正確，則再遇組合圖形毫無壓力

2020-09-20 數學世界

各位朋友，大家好！今天是2020年9月19日星期六，數學世界將繼續為大家分享小學五、六年級的數學競賽試題以及高年級的數學思考題。今天我們講解一道有關長方形旋轉與圓的面積計算相結合的數學競賽題，此題屬於能力提升題。

對於大多數學生來說有一定的難度，但是只要掌握了方法，所有的學生都能夠理解這樣的解題思路。數學世界在此分享這些有趣的數學題，目的是希望能夠激發學生學習數學的興趣，並且能夠給大家的學習提供一些幫助！

例題：（小學數學競賽題）如圖，在長方形ABCD中，AB長8釐米，BC長6釐米，AC長10釐米。如果把這個長方形繞頂點C旋轉90°，那麼AD邊所掃過部分（陰影部分）的面積是多少平方釐米？（π值取3.14）

這道題要求陰影部分的面積，顯然這部分並不是一個規則圖形，只能通過相關圖形面積相加減求出。其實這道題並不是很難，對於成績較好的同學來說應該可以做出來，但是還有很多學生看完此題後，不知如何進行思考，沒有能力做出來。對於這樣的數學題，需要較強的觀察和分析能力。接下來，數學世界就與大家一起來完成這道例題吧！

分析：仔細觀察圖形後，分析可知：整個圖形的面積=左右下腳2個三角形的面積+大圓面積的1/4，而左右下腳2個三角形的面積合起來剛好等於長方形ABCD的面積。再看：空白部分的面積=長方形ABCD的面積+大圓面積的1/4。於是可以得出：陰影部分的面積=大圓面積的1/4-小圓面積的1/4，按此列式解答即可。

另外，大家還可以這麼想；因為AC和CD都旋轉了90度，AC和CD所掃過的面積都是各自所在圓面積的1/4，所以陰影部分的面積就相當於圓環面積的1/4，由此列式解答即可，於是問題就可以得到解決。下面，我們就按照以上思路解答此題吧！

解答：經過分析可知：

陰影部分的面積=大圓面積的1/4-小圓面積的1/4，

大圓半徑AC長10釐米，

小圓半徑CD長8釐米，

所以陰影部分的面積為

（註：此處儘量列綜合算式，可以減小計算量）

3.14×（10^2-8^2）÷4

=3.14×36÷4，

=28.26（平方釐米）

答：AD邊所掃過部分（陰影部分）的面積是28.26平方釐米。

（完畢）

這道題主要考查了圓的面積計算，以及圖形的旋轉知識。解答此題的關鍵是：通過仔細觀察圖形，找出陰影部分面積的計算方法，這也是此題的難點。溫馨提示：朋友們如果有不明白之處或者有更好的解題方法，歡迎大家在下面留言討論。

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