費馬大定理是啥?有啥用?

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《數學通識50講》

1、費馬大定理是啥？有啥用？

很多人都聽說過費馬大定理，但具體是啥恐怕說不上來。讓我意外並長見識的是，今天區塊鏈技術用到的橢圓加密方法，就是以它為基礎的。

2、著名的希爾伯特第十問題又是啥？有啥用？

通過它能理解數學的邊界，這是一個硬的邊界。

3、高深的理論數學研究有啥用？只是天才們的智力遊戲麼？

大一上高數課時，我得知牛頓和萊布尼茲發明的微積分奠定了現代自然科學的基礎，這讓我了解了一點點理論數學研究的用處，不過我對更多理論數學的實際意義沒多大感受。這就是吳軍老師提到的，我們的教育讓孩子們對於小初高和大學課堂裡上數學課的感覺沒啥區別，都只是為了考試而已。

 

數學的局限性，是來自於我們自己的數學知識不夠，還是來源於數學本身的局限性呢？

應該講這兩方面的原因都有，前者很好理解，所謂「學海無涯」嘛；下面展開講述上述後者。

我們有必要了解數學本身的局限性，才能更好地使用它的原理和思維方式，還是從畢達哥拉斯定理的推廣說起。

在幾何上有很多整數組滿足畢達哥拉斯定理，它們就是勾股數，比如（3，4，5），（5，12，13）等。

從代數上解釋勾股數，就是方程a^2+b^2=c^2的整數解。

 

當然，人類總是很好奇，如果上面方程中的平方變成立方，甚至任意N次方，它還有整數解嗎？比如，是否有三個整數a，b，c，使得a^3+b^3=c^3？

這個問題困擾了人類幾千年。後來有一個叫費馬的數學愛好者就提出一個假說，除了平方的情況，其他更高次方的方程都找不到整數解，它被稱為費馬大定理（或者費馬最後定理）。

雖然它被稱為定理，但數學家們只是把它看成是猜想，或者假說，因為沒有證明。

猜想，哪怕用很多數據驗證過了，只要沒有證明，就無法成為數學大廈中的一塊磚，就無法在它的基礎上搭建新的東西。

因此，在費馬之後的幾百年裡，很多數學家都試圖證明它，但是都不得要領。費馬自己說他已經證明了這個定理，只是那張紙不夠大寫不下，但後人認為是費馬搞錯了。

於是費馬大定理就成了一道跨越了三個多世紀的超級難題。直到1994年，才由著名的英國旅美數學家懷爾斯證明出來，而這個過程也是一波三折。

 

1986年，懷爾斯在做了十多年的準備後，覺得證明費馬大定理的時間成熟了，終於決定將全部精力投入到該定理的證明上了。為了確保別人不受他的啟發率先證明了這個著名的定理，他決定在證明出這個定理以前不發表任何關鍵性的論文。

但是，如果一個人苦思冥想，推導的邏輯錯了自己也看不出來（就像很多人對自己做的文案，連基本的文字錯誤都看不出來），為了避免這種情況的發生，懷爾斯利用在普林斯頓大學教課的機會，不斷地將自己部分的想法作為課程的內容講出來，讓博士生們來挑錯。

1993年6月底，懷爾斯覺得自己準備好了，便回到他的故鄉英國劍橋，在劍橋大學著名的牛頓研究所舉行三場報告會。為了產生爆炸性的新聞效果，懷爾斯甚至沒有預告報告會的真實目的。因此，前兩場報告其實人不多，但是這兩場報告之後，大家都明白接下來他要證明費馬大定理了。

於是在舉行最後一場報告時，牛頓研究所裡擠滿了人，據估計可能只有1/4的人能聽懂講座，其餘的人來這裡是為了見證一個歷史性的時刻。

很多聽眾帶來了照相機，而研究所所長也事先準備好了一瓶香檳酒。當懷爾斯寫完費馬大定理的證明時，很平靜地說道：「我想我就在這裡結束」，會場上爆發出一陣持久的鼓掌聲。這場報告會被譽為了20世紀該研究所最重要的報告會。

 

不過故事到此並沒有結束，數學家們在檢查懷爾斯長達170頁證明的邏輯之後，發現了一個小漏洞。

懷爾斯開始認為這個小漏洞很快能補上（至於漏洞具體是什麼，吳軍老師沒說，不過估計說出來了我也不懂），但是後來才發現這個小漏洞會顛覆整個證明的過程。懷爾斯又獨立地工作了半年，但毫無進展，在他準備放棄之前，向普林斯頓大學的另一個數學家講述了自己的困境。對方告訴他，他需要一位信得過的，可以討論問題的助手幫忙。

經過一段時間的考慮和物色，懷爾斯請了劍橋大學年輕的數學家泰勒來一同工作，最後在泰勒的幫助下懷爾斯補上了那個小漏洞。由於有了上一次帶有烏龍性質的經歷，懷爾斯這次有點懷疑自己是在做夢。於是他到外面轉了20分鐘，發現自己沒有在做夢，這才喜出望外。

由於懷爾斯在證明這個定理時已經超過了40歲，無法獲得菲爾茲獎，因此國際數學大會破例給他頒發了一個特別貢獻獎，這也是迄今為止唯一一個特別貢獻獎。

 

那麼證明這個古老的數學難題有什麼意義呢？

這個定理證明過程本身導致了很多數學研究成果的出現，特別是對於橢圓方程的研究。今天區塊鏈技術用到的橢圓加密方法，就是以它為基礎的。

在懷爾斯之前，有一批數學家，特別是日本的谷山豐，對這一系列理論做出了重大的貢獻，懷爾斯的成功是在他們的工作基礎之上的。今天的比特幣可以講完全是谷山豐理論的一次有意義的應用。而在懷爾斯之後，泰勒等人還在不斷發展這方面的理論。

 

對於三個世紀數學家們證明費馬大定理的過程，作者的三點體會：

1、今天的數學（指純粹數學，不是應用數學）真的很難，想在這方面取得突破性貢獻不容易，懷爾斯從10歲開始就立志解決這個問題，他努力了30年。他最後的證明長達200頁。但是，有了理論，使用它做有意義的事情，還是容易得多。比特幣就是一個很好的例子。

2、數學是世界上最嚴密的知識體系，任何的推導不能有絲毫的紕漏。懷爾斯差點因為一個小的疏忽毀掉了整個工作。

3數學走到今天這一步，是在一個個定理的基礎上一點點搭建起來的，而今天的成就，又為明天的發展奠定了基礎，這樣數學就獲得了可疊加的進步。

 

畢達哥拉斯定理是起點，費馬大定理是一個普遍情況的延伸。接下來，如果我們沿著畢達哥拉斯定理和費馬大定理繼續往前拓展，會是什麼情況呢？

比如任意一個多項式方程2x^2+3y^3=z^4，或者x^2+3y^3-w^5=z^4，請問它們有沒有整數解？這個問題就是著名的希爾伯特第十問題（簡稱第十問題）。

對於任意一個多項式方程，我們能否在有限步內，判定它是否有解？

對於一些特例，我們知道有整數解，比如x^2+y^2=z^2就有；對於另一些特例，我們知道沒有整數解，比如費馬大定理所描述的情況。

但是，對於更多的，一般性的不確定方程，我們不僅不知道怎麼解，甚至無法判斷一個方程有沒有整數解。因此，1900年在巴黎舉行的國際數學大會上，希爾伯特在提出23個著名的數學問題時，把它列為了第十個。

 

第十問題其實隱含了一個更為深刻的認識論問題，就是對於大部分數學問題，我們能否找到答案？到目前為止，我們所能解決的數學問題其實只是所有數學問題中很小的一部分。

當然，很多人會說尚未找到答案不等於沒有答案。第十問題實際上在直接挑戰數學的邊界，也就是說，通過數學的方法，我們可能根本無法判斷一些問題的答案存在與否。

也就是並非所有的問題都有解決辦法，並非所有的現象都能找到科學的解釋方法。

如果連答案是否存在都不知道，就更不用說通過數學的方法解決它們了。這樣就為數學劃定了一個明確的邊界。

從1900年之後，特別是在二戰之後，歐美不少數學家致力於解決這個問題，因為這也涉及到計算機所能處理問題的邊界。

第十問題的解決頗具戲劇性。在上個世紀60年代，被認為最可能解決這個難題的是美國著名的女數學家朱莉婭·羅賓遜，她從博士一畢業就致力於研究這個問題，也取得了很多突破性的進展。雖然羅賓遜因為這方面的貢獻成為了美國科學院第一位女院士，美國數學學會第一位女會長，她離解決這個問題最終還是差幾步。

1970年，俄羅斯天才的數學家尤裡·馬季亞謝維奇在大學畢業後一年就解決了這個問題，證明了這類問題是無解的，從此在世界上一舉成名（俄羅斯的基礎數學確實很牛掰，最近看到任教主提到華為就專門在俄羅斯招數學人才，在印度招談判專家等等）。

純數學這個學科除了需要一些運氣之外，比拼的是人的智力，智力到哪個程度，成就就到哪個水平，這倒不是宿命論，而是說明人要根據自己的特長選擇做事。

吳軍老師在《見識》中也特別強調天才的重要性，比如我們小時候都知道的那句名言，「天才就是99%的努力加1%的天賦」，過往這句名言都是在教我們強調努力的重要性，但沒有告訴我們原話的後半句，「而1%的天賦是必不可少的」。這就好比拉瓦錫、愛因斯坦、圖靈等不世出的奇才是幾十年、幾百年才能遇到的。我就記得拉瓦錫被無辜送上斷頭臺時，著名數學家拉格朗日痛心地說：「把他的腦袋砍下，只要一眨眼。可是這樣的腦袋，哪怕一百年也再長不出來。」

 

第十問題的解決其實撲滅了人類的一絲希望，但是也讓人類老老實實地在邊界內做事情。人類過去常常希望找到一個工程問題的解析解，即答案是以一個公式的形式存在，這樣套入任何數字，就得到了具體的答案。

但是，很多問題最後證明找不到嚴格推導出來的解析解，當然這也不妨礙大家在工程上可以使用近似的數值解，解決實際問題。認清這一點，做事的方法也就改變了。

搞流體力學和控制理論的人都知道，那裡面有很多複雜的非線性方程要解決。在上個世紀，美蘇兩國走了兩條不同的道路。

前蘇聯因為數學水平較高，而計算機技術很落後，因此他們習慣於下硬功夫做很難的數學題，找到非線性問題的解析解（這句話有點繞，但是要看清楚）。

而在美國方面，數學水平高的人沒有前蘇聯多，但是計算機技術先進，因此他們習慣於把很麻煩的非線性問題變成很多計算量大，但是卻很簡單的線性問題（或者其它數值計算問題），找到工程上能接受的近似解。

那麼誰取得的效果好呢？從結果來看，美國似乎更好些。如此看來，是不是可以說美國人做事更務實一些，其實中國人也挺務實的，不像現在的白左們空喊這個那個的。

關於什麼是線性方程，只要記住線性方程簡單，非線性方程非常複雜即可。

吳軍老師通過希爾伯特第十問題介紹了數學的邊界，這是一個硬的邊界，大家不要試圖逾越。但是數學的邊界有些時候不是我們解決問題的邊界，因為世界上除了數學的方法，還有其他方法。