動點問題中的最值與定值（八年級數學）
以八年級數學的知識框架，研究動點問題不存在障礙，當然所謂的動點，目前多利用全等三角形、平行四邊形、軸對稱圖形等特殊圖形，並不涉及到圓。因此關於「最」的定理，一般是「兩點之間線段最短」和「垂線段最短」，而「定」，一般是結合題目條件中的定長，進行等量轉換。
題目
如圖1，四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，A(0,a)，B(b,0)，C(c,0)，|b+c|+√(a-2√3)=0.
(1)求AB的長；
(2)如圖2，點M在BD上運動，△AMN為等邊三角形.
①求ND的最小值；
②如圖3，當點N在AD的上方時，求點N的橫坐標.
解析：
(1)由於題目中給出的點坐標均含參數，因此先由條件中的等式求這些參數，根據非負數之和為零的結論，得到a=2√3，於是A(0,2√3)，然後在Rt△AOB中，這是一個含30°角的特殊直角三角形，求得OB=2，AB=4；
(2)①關於ND的最值
接著上一小題的結果繼續求得B(-2,0)，C(2,0)，這是一個特殊的菱形，特殊之處在於它的一條對角線可將其分成兩個全等的等邊三角形，恰好△AMN也是一個等邊三角形，因此想到連接AC，屬於典型的「手拉手」模型，如下圖：
由特殊菱形ABCD可知△ACD也是等邊三角形，於是AC=AD，△AMN也是等邊三角形，於是AM=AN，∠CAM+∠MAD=∠DAN+∠MAD=60°，所以∠CAM=∠DAM，可證明△ACM≌△ADN(SAS)，所以ND=MC；
那麼MC什麼時候最小呢？
點C是定點，點M在BD邊上，這屬於點到直線的距離，因此用到了「垂線段最短」，即當CM⊥BD時最小，此時M點恰好與菱形對角線交點重合，前面已經證明了△ACD是等邊三角形，AC=4，於是CM=2；
②關於N點橫坐標
通常情況下，研究點的橫坐標，向y軸作垂線，將坐標轉換成線段問題，而△AMN是以點A為旋轉中心，於是繼續構造一對全等三角形，過點N作y軸的垂線段NE，同時連接AC交BD於點F，如下圖：
這裡的關鍵是找齊△AFM與△NEA全等的三個條件，其中有兩個條件非常容易找，就是直角及AM=AN，剩下那個條件在哪裡呢？
注意∠ABC=60°，對於△ABC來講，OA恰好滿足三線合一的條件，即可得∠CAO=30°，於是∠EAF=150°，而夾在中間的∠MAN=60°，因此可得∠EAN+∠FAM=150°-60°=90°，再根據∠EAN+∠ENA=90°，得出∠EAN=∠FAM，至此全等的三個條件全部找齊，得到△AFM≌△NEA(AAS)，於是NE=AF=2，所以點N的橫坐標是2.
解題反思
在最後一小題中，求點N的橫坐標，而N本身是個動點，咋一看上去會感覺沒有頭緒，但仔細想想，題目既然求點坐標，那必定是個常數，也就是個定值，動點的橫坐標是定值，就需要往圖形中的定點去引，所以通過構造全等三角形進行轉換，而這個全等三角形其實也是基於前一小題的輔助線，菱形對角線交點的特殊之處也在於構造直角。
有時到了九年級再拿這道題，會有學生求BD解析式，再表示M、N點坐標，盡可一試，但複雜程度不言而喻。能夠從幾何圖形性質的角度去解決問題，還是不要解析了吧！其實把圖中坐標系拿掉，換成兩條互相垂直的直線，再求點到直線的距離，也是一樣的方法。