尋覓正方形旋轉過程中動點形成的軌跡(八年級數學)

尋覓正方形旋轉過程中動點形成的軌跡（八年級數學）

旋轉變換與平移、軸對稱一道，被稱為初中平面幾何三大變換，在八年級數學下冊學習正方形之後，結合旋轉變換，對學生審題看圖能力提出了更高的要求，特別是其中動點的運動路徑，也稱軌跡，它的探尋也是八年級數學的難點，如何突破這個難點，仍然需要對基本概念和基本模型有深刻的認知。

題目

已知正方形ABCD和正方形CEFG，點M是AF的中點，連接BM、GM，將正方形CEFG繞著點C旋轉.

(1)如圖1，當點F在BC上，點C在AC上，請判斷BM和GM的關係，並說明理由；

(2)如圖2，當點F在AC上，點E在BC上，點G在CD上時，(1)中結論是不依然成立？請證明你的結論；

(3)若AB=3，CE=1，在正方形CEFG繞著點C旋轉的過程中，請直接寫出GM長度的取值範圍.

解析：

(1)當點F在BC上，點G在AC上時，說明∠ABF=90°，∠AGF=90°，注意點M的特殊位置，它在AF中點，同時AF分別是Rt△ABF和Rt△AGF的公共斜邊，因此BM=GM=AM，於是∠BMF=2∠BAF，∠GMF=2∠FAG，因此∠BMG=2∠BAG=90°，所以BM⊥GM；

(2)當點F在AC上，點E在BC上，點G在CD上時，又是一種特殊位置，當然可以「秒殺」了，如下圖：

連接EM，作MN⊥BC，來看看怎麼「秒殺」吧！AC是正方形ABCD對稱軸，因此EM=GM，點M是AF中點，而MN經過梯形ABEF一腰中點且和兩底平行，所以MN是梯形中位線，得到N是BE中點，因此MN是BE的垂直平分線，然後EM=BM，是不是秒殺掉了？

只不過梯形中位線定理超出了八年級數學目前的範圍，因此這樣的秒殺毫無意義，我們還是回歸正常的思維過程來。

在上一個位置中，我們證明了BM=GM且BM⊥GM，當然也可以看作BM繞點M逆時針旋轉了90°，因此我們抓住這個旋轉變換，現在變換了位置，這個旋轉依然存在嗎？

答案是肯定的，觀察△GMF，它就有可能是由另一個三角形旋轉而來，如下圖：

延長GF交AB於點H，連接HM，因為GH⊥AB，因此對於Rt△AHF來講，HM是其斜邊上的中線，所以HM=FM，再加上△AHF是一個等腰直角三角形，由三線合一可得∠MHA=45°，所以∠MHB=135°，同樣∠AFH=45°，所以∠MFG=135°，我們還能證明矩形BEFH，將BH轉換到EF，再由正方形轉換至FG，得BH=GF，至此全等的三個條件全部具備，得△MHB≌△MFG，所以BM=GM，∠HMB=∠FMG，而∠HMB+∠BMF=90°，所以∠FMG+∠BMF=90°即∠BMG=90°，所以再次完成了BM⊥GM的證明，和(1)中結論完全相同；

(3)對於八年級學生來講，這是個難點問題，很多學生不明所以，實質上點M的運動軌跡是個圓，圓心就是正方形ABCD的中心，但這個結論並不需要讓學生證明，甚至也不需要知道，沒學過圓，就別用圓的知識來解決，我們先來探索GM的長度變化。

我們已經證明過GM=BM，所以留意BM的變換即可，畢竟點B是定點，那麼點M究竟是如何運動的呢？連接AC並取中點O，在△ACF中，OM始終是△AOC的中位線，等於CF的一半，而CF作為正方形CEFG的對角線，長度也是確定的，如下圖：

好了，點B、點O是定點，點M是動點，於是當這三點共線時，分別對應兩種最值，如下圖：

BM最短時為√2，最長是2√2，因此GM的變化範圍是√2≤GM≤2√2.

解題反思

中間那個「秒殺」的答案是我在網上搜索出來的，可能對於搜題類app，並不太會注重題目的適用範圍，只要能解出來，就收錄進來了，對於它的功能來講，是完全正常的，但對於教學來講，是不正常的，一旦學生拿這個秒殺法子當法寶，我不知道是該如何應對，說你用了超納內容，你回答說你是天才，是不是真的，只能等潮水退走，再看有沒穿褲子吧！

旋轉類的問題，需要從全等角度去思考，即構造出合適的全等三角形，才是解決八年級此類問題的核心，而動點軌跡問題，其實就是考察學生對動點運動過程中，不變量的確定，在運動中尋找不變量，即使在九年級，也是一項必修技。

在正方形中，有幾種特殊的位置，容易得到特殊圖形，例如等腰直角三角形，矩形等，這要求對它們的性質與判定非常熟悉，才能在思維過程中如魚得水，否則一處掉鏈子，整個思路就會斷掉，例如在第3問過程中，就有學生始終不明白中位線是怎麼來的，連接正方形對角線，交點就是對角線中心，這個認知來源於平行四邊形對角線互相平分，如果遺忘或不熟練，這個坎硬是過不來。

所以，要想在解題中高效，請先在課堂上高效。