求解動點軌跡方程的的七種解法

2021-02-08 鄒生書數學

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鄒生書，男，1962年12月出生，本科學歷，理學士學位，中學數學高級教師，黃石市高中數學骨幹教師。主要從事高中數學教學、高中數學解題研究和探究性學習等。從2007年8月到2018年8月，在《數學通訊》《數學通報》《數學教學》《中學數學》《中學數學教學》等，二十多種學術期刊上發表解題和探究性學習文章300餘篇。

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運用解析幾何中一些常用定義(例如圓，橢圓，雙曲線和拋物線)，可從曲線定義出發直接寫出軌跡方程，或從曲線定義出發建立關係式，從而求出軌跡方程。②橢圓：到兩定點的距離之和為常數(大於兩定點的距離)③雙曲線：到兩定點距離之差的絕對值為常數(小於兩定點的距離)例題：已知圓(x+4)2+y2=25的圓心為M1，圓(x-4)2+y2=1的圓心為M2，一動圓與這兩個圓外切，求動圓圓心P的軌跡方程。

備註：算出軌跡方程之後，要結合題意，註明變量x，y的範圍變式1：一動圓M與圓O1：x2+y2=1外切，而與圓O2：x2+y2-6x+8=0內切，那麼動圓圓心M的軌跡方程。變式2：若B(-8,0)，C(8,0)為△ABC的兩頂點，AC和AB兩邊上的中線長之和為30，求△ABC的重心軌跡方程。

如果動點運動的條件就是一些幾何量的等量關係(幾何、三角或者向量表達式等)，這些條件簡單明確，易於表述成含x,y的等式，就得到軌跡方程，這種方法稱之為直接法。例題：動點P到兩個定點A(-3,0)和B(3,0)的距離之比等於2，即￨PA￨: ￨PB￨=2:1,求動點P的軌跡方程。

變式1：點M(x，y)到直線x=8的距離和它到定點F(1，0)的距離的比為2，則求動點M的軌跡方程。變式2：分別過A1(-1，0)，A2(1，0)作兩條互相垂直的直線，則求它們的交點M的軌跡方程。

若所求的軌跡滿足某些幾何性質(如直線垂直，線段垂直平分線，角平分線，直角三角形斜邊中線等於斜邊一半等)，可以列出幾何等式，再帶入點坐標求出軌跡方程，這種方法被稱為幾何法。例題：過點P(2,4)做兩條互相垂直的直線L1,L2，若L1交x軸於A點，L2交y軸於B點，求線段AB的中點M的軌跡方程。

變式：過圓O：x2+y2=4外一點A(4，0)，作圓的割線，求割線被圓截的的弦BC中點M的軌跡方程。

動點所滿足的條件不易表述或求出，但形成軌跡的動點P(x,y)卻隨另一動點Q(x0,y0)的運動而有規律的運動，且動點Q的軌跡為給定或容易求得，則可先將x0,y0表示為x,y的式子，再代入Q的軌跡方程，然而整理得P的軌跡方程，稱為相關點法。② 設點Q的坐標為(x0,y0)，且有F(x0,y0)=0;③ 動點P隨著點Q有規律的運用可得：x0=f(x,y)，y0=g(x,y)；④ 把x0=f(x,y)，y0=g(x,y)帶入F(x0,y0)=0，即可求出點P的軌跡方程。例題：拋物線y2=4x的通徑與拋物線交於A、B兩點，動點C在拋物線上，求△ABC重心P的軌跡方程。

變式1：從雙曲線x2-y2=1上一點Q引直線x+y=2的垂線，垂足為N，求線段QN的中點P的軌跡方程。

變式2：設點M(-3，4)，動點N在圓x2+y2=4上運動，以OM，ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡方程。

有時很難直接找出動點的橫、縱坐標之間關係。如果藉助中間量(參數)，使x，y之間的關係建立起聯繫，然後再從所求式子中消去參數，便可得動點的軌跡方程，這種方法被稱作參數法。例題：過點A(0，1)做直線L與拋物線：x2=4y交於D，E兩點，O為坐標原點，求△ODE的重心G的軌跡方程。

變式：設拋物線y2=4x的準線為L，焦點為F，頂點為O，P為拋物線上任意一點，又PQ⊥L，Q為垂足，求QF與OP的交點M的軌跡方程。

若設直線與圓錐曲線的交點坐標為A(x1,y1)、B(x2,y2)，將這兩點帶入圓錐曲線的方程並對所得兩式做差，得到一個與弦AB的中點和斜率有關的式子，可以大大減少運算量。我們稱這種帶點做差的方法為「點差法」。點差法對於解決弦中點軌跡問題非常有效。例題：求拋物線y2=4x的過焦點F的弦的中點M的軌跡方程。

變式：過原點的直線L和拋物線y=x2-4x+6交於A、B兩點，求線段AB的中點M的軌跡方程。

在求動點軌跡時，有時會出現要求兩動曲線交點的軌跡問題，這種問題通常通過解方程組得出交點（含參數）的坐標，再消去參數求得所求的軌跡方程，該法通常與參數法同時使用。①根據題意已知動曲線F(x，y)=0和動曲線G(x，y)=0相交於點P，設動點P的坐標為(x，y)②將F(x，y)=0與G(x，y)=0聯立，求得交點坐標即可。備註：得到的交點坐標通常含有參數，還會有一個消參的過程。例題：如圖，已知拋物線C：y=x2，動點P在直線L：x-y-2=0上運動，過點P作拋物線C的兩條切線PA，PB，且與拋物線C分別相切於A、B兩點，求△APB的中心G的軌跡方程。

變式：已知橢圓：x2/3+y2/2=1的左，右焦點分別為F1和F2，直線L1過F2且與x軸垂直，動直線L2與y軸垂直，L2交L1於點P。求線段PF1的垂直平分線與直線L的交點M的軌跡方程.


轉自：高中數學王暉

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