九年級數學培優系列|圓之最值問題有跡可循之輔助圓法

2020-12-17 中學數學精準輔導

動點最值問題是我們初中數學的重難點內容，今天我們通過幾個圓的動點問題，為你介紹軌跡為圓，利用輔助圓特性求最值問題，值得反思回味。

類型1 動點型

1．（2017秋丹徒區期末）如圖，AB是半圓O的直徑，點D在半圓O上，AB=2，AD=10，C是弧BD上的一個動點，連接AC，過D點作DH⊥AC於H，連接BH，在點C移動的過程中，BH的最小值是（　　）

A．5 B．6

C．7 D．8

【分析】如圖，取AD的中點M，連接BD，HM，BM．由題意點H在以M為圓心，MD為半徑的⊙M上，推出當M、H、B共線時，BH的值最小；

【解答】如圖，取AD的中點M，連接BD，HM，BM．

∵DH⊥AC，

∴∠AHD=90°，

∴點H在以M為圓心，MD為半徑的⊙M上，

∴當M、H、B共線時，BH的值最小，

∵AB是直徑，∴∠ADB=90°，

∴BH的最小值為BM﹣MH=13﹣5=8．

故選：D．

【點評】本題考查時與圓的位置關係、勾股定理、圓周角定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，利用輔助線=圓解決問題，屬於中考選擇題中的壓軸題．

2．（2018建湖縣一模）如圖，在平面直角坐標系中，A（4，0）、B（0，﹣3），以點B為圓心、2為半徑的⊙B上有一動點P．連接AP，若點C為AP的中點，連接OC，則OC的最小值為______．

【分析】先確定點C的運動路徑是：以D為圓心，以DC1為半徑的圓，當O、C、D共線時，OC的長最小，先求⊙D的半徑為1，說明D是AB的中點，根據直角三角形斜邊中線是斜邊一半可得OD=2.5，所以OC的最小值是1.5．

【解答】當點P運動到AB的延長線上時，即如圖中點P1，C1是AP1的中點，

當點P在線段AB上時，C2是中點，取C1C2的中點為D，

點C的運動路徑是以D為圓心，以DC1為半徑的圓，當O、C、D共線時，OC的長最小，

設線段AB交⊙B於Q，

Rt△AOB中，OA=4，OB=3，

∴AB=5，

∵⊙B的半徑為2，

∴BP1=2，AP1=5+2=7，

∵C1是AP1的中點，

∴AC1=3.5，AQ=5﹣2=3，

∵C2是AQ的中點，

∴AC2=C2Q=1.5，

C1C2=3.5﹣1.5=2，即⊙D的半徑為1，

∵AD=1.5+1=2.5=1/2AB，

∴OD=1/2AB=2.5，

∴OC=2.5﹣1=1.5，

故答案為：1.5．

3.（2017惠山區校級一模）如圖，已知A、C是半徑為2的⊙O上的兩動點，以AC為直角邊在⊙O內作等腰Rt△ABC，∠C=90°．連接OB．則OB的最小值為_______．

【分析】如圖，作等腰直角三角形△OCO′，CO=CO′，∠OCO′=90°，首先證明當點C固定時，點B在以O′為圓心OA為半徑的圓上運動，推出當O、B、O′共線時，OB的值最小，最小值=OO′﹣O′B= 2倍根號2﹣2．

【解答】如圖，作等腰直角三角形△OCO′，CO=CO′，∠OCO′=90°，

∵AC=CB，∠ACB=∠OCO′，

∴△ACO≌△BCO′，

∴OA=O′B，

∴當點C固定時，點B在以O′為圓心OA為半徑的圓上運動，

∴當O、B、O′共線時，OB的值最小，最小值=OO′﹣O′B= 2倍根號2﹣2．．

故答案為2倍根號2﹣2．

反思：在錯綜複雜的變化之中，小妖總會露出一些蛛絲馬跡．只要你能夠整合題目的條件，找到兩個定點，並發掘動點與其所成的張角的大小，張角一旦為定角，或動點與定點距離相等（多以直角三角形斜邊中線體現），小妖就露出它的行蹤，顯出它的軌跡，它的原形——圓也就自然而然的在我們眼前現形了．

李白的「遙看瀑布掛前川」化動為靜，賈島用「僧敲月下門」以動襯靜，數學上的動點題在變化的位置中體現不變的規律（如本文題中找到的動點的軌跡），把「動」轉化為「靜」，有異曲同工之妙．

練習1（2016秋蘇州期末）如圖，已知等邊△ABC的邊長為8，以AB為直徑的圓交BC於點F．以C為圓心，CF長為半徑作圖，D是⊙C上一動點，E為BD的中點，當AE最大時，BD的長為（　　）

【練習1答案】選B．

類型2 旋轉型

3．（2018灌南縣模擬）如圖，正方形ABCD中，AB=3，以B為圓心，AB長為半徑畫圓B，點P在圓B上移動，連接AP，並將AP繞點A逆時針旋轉90°至Q，連接BQ，在點P移動過程中，BQ長度的最小值為______-．

【分析】通過畫圖發現，點Q的運動路線為以D為圓心，以1為半徑的圓，可知：當Q在對角線BD上時，BQ最小，先證明△PAB≌△QAD，則QD=PB=1，再利用勾股定理求對角線BD的長，則得出BQ的長．

【解答】如圖，當Q在對角線BD上時，BQ最小，

連接BP，由旋轉得：AP=AQ，∠PAQ90°，

∴∠PAB+∠BAQ=90°，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，

∴∠BAQ+∠DAQ=90°，

∴∠PAB=∠DAQ，

∴△PAB≌△QAD，

∴QD=PB=1，

在Rt△ABD中，∵AB=AD=3，

【點評】本題考查了正方形的性質、旋轉的性質和最小值問題，尋找點Q的運動軌跡是本題的關鍵，通過證明兩三角形全等求出BQ長度的最小值最小值．

反思：解決動點問題的過程中，如果能在自動點和因動點之間找到一個定點，將其作為中心，使兩個動點之間構成旋轉、位似或旋轉相似等保持形狀不變的圖形變換，那麼寶貝「照妖鏡」也就找到了．動點所形成的軌跡也就在「照妖鏡」中現出了原形：

自動點在圓上運動——因動點的軌跡就是圓；自動點在直線上運動——因動點的軌跡就是直線

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