九年級數學,小狗活動範圍的最值問題,容易出錯

2020-12-11 勤十二談數學

在圓中，有一類問題，求小狗的活動範圍，這類題目一不留神就很容易出錯。並且，可與二次函數相結合考查最值問題，難度上也會相應變大。在解題時注意，小狗活動的範圍應該是以所寄點為圓心，繩長為半徑的一個圓。但是，題目一般不會這麼簡單，也就是說小狗所寄點處不是空曠的，一般比如會有樹木、房子、湖水等，那麼解題時所運動的範圍不再是一個整圓。

例題1：如圖，OA、OB是某牆角處的兩條地腳線，夾角∠AOB=150°，一根4米長的繩子一端拴在牆角O處（OA＞4米，OB＞4米），另一端拴一隻小狗，小狗在地面上活動，求：

（1）小狗可活動的最大區域圖形的周長；

（2）小狗可活動的最大區域圖形的面積（結果保留π）．

分析：小狗可活動的區域為一個扇形，此扇形為OAB，圓心角為150°，半徑為4m，通過弧長公式和扇形的面積公式可以求出小狗可活動的最大區域的周長和面積。

其實本題主要考查了弧長公式和扇形的面積公式，難度不大。

例題2：如圖為空曠場地上的一棟矩形小屋ABCD的平面圖，拴住小狗的繩子一端固定在屋外B點處，小狗只能在屋外場地上活動．若AB=6m，BC=4m，拴小狗的繩長為10m，則小狗可以活動的區域面積是多少？

分析：小狗活動的區域面積為以B為圓心、10為半徑的四分之三圓，以C為圓心、6為半徑的四分之一圓和以A為圓心、4為半徑的十分之一圓的面積和，然後利用扇形的面積公式或圓的面積公式進行求解即可。

解：（1）如圖，拴住小狗的10m長的繩子一端固定在B點處，小狗可以活動的區域如圖所示：

∴S=3/4×π10^2+1/4π6^2+1/4π4^2=88π

變式：如圖2，現考慮在（1）中的矩形ABCD小屋的右側以CD為邊拓展一正△CDE區域，使之變成落地為五邊形ABCED的小屋，其他條件不變，則在BC的變化過程中，當S取得最小值時，求邊BC的長及S的最小值．

分析：與例題2的分析類似，此時小狗活動的區域面積為以B為圓心、10為半徑的四分之三圓，以A為圓心、x為半徑的四分之一圓、以C為圓心、10-x為半徑的扇形的面積和，該扇形圓心角的度數為30°，然後得到關於x的二次函數，通過研究二次函數的表達式得到最值。

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