柯基犬求導函數，鸚鵡計算加法，動物的數學天賦真這麼驚人？

猩猩、鸚鵡、蜜蜂，甚至連老鼠都會數數，它們甚至還會計算？

沒錯，這種能力是動物們物競天擇的優勢，它們的數學天賦已經被科學家研究過很多次了，每次結果都很有趣。

前奧數冠軍霍格爾·丹貝克的這本新書，通過許多類似的趣事，幫作者重拾數學的樂趣，治好數學恐懼症——他也是我們此前推薦的《三個邏輯學家去酒吧》作者。

《你學的數學可能是假的》

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狂丸科學市集你學的數學可能是假的小程序

據說，數學把人分成兩種，一種甘之如飴，一種對它怕得要命。

其實，數量與幾何，始終深深根植於每個人的意識當中，只是人們往往忽略了這一點。幾個月大的嬰兒就已經會簡單的加法計算，就連小動物都會計算，當它們計算時，也會跟我們犯一樣的錯誤。

從天生的數量感，到超簡單的計算技巧，再到優雅的證明過程，霍格爾·丹貝克為我們展現了老師沒教過已經還給老師的美麗數學世界。

獅子如何識別敵人數量？

儘可能準確地掌握對手的數量，這對動物很重要。誰若是低估了敵方數量，有時就會付出生命的代價。因為計數中的一個小小錯誤，可能會帶來致命的後果。

那麼，動物是如何獲知同類的數量的呢？

1994年，劍橋大學的動物學家在坦尚尼亞對獅子進行了一項有趣的研究。大自然中常常有多達20頭的母獅子群居，獅群之間通常井水不犯河水，都有自己的領地。

然而，獅群之間總是不期而遇，甚至會有激烈的戰鬥。

多數時候數量較多的獅群會獲勝。

吼聲在獅子的交流中起著重要的作用。獅子會單獨吼叫，也會成群吼叫，它們一頭接一頭地輪流發出獅吼，類似合唱團唱歌。

研究者們錄下了1頭獅子的吼聲和由3頭獅子組成的小群體的吼聲。之後，他們通過揚聲器將錄下的吼聲播放給200米外的母獅群聽。母獅們就會不斷地聽到陌生的獅子的吼聲。

揚聲器的小伎倆開始起作用了：

這些大型貓科動物聽得非常認真，然後根據自己獅群的大小來決定是否接近這些「入侵者」。

如果揚聲器發出1頭獅子的吼聲，那麼由3頭或更多母獅組成的獅群，每10次中有7次會進攻，也就是攻擊概率為70%。但如果咆哮聲是由3頭獅子發出來的，這些母獅子就明顯更加謹慎了。

它們自己的獅群要達到5頭以上，才會冒著70%的風險發動攻擊。

揚聲器實驗表明：

獅子會通過吼聲來識別出有多少敵人。它們敢不敢攻擊入侵者，取決於對手的獅群大不大。它們會比較雙方參與戰鬥的獅子數量，只有當己方佔優勢時，才會發起進攻。

誰是動物王國的數學天才？

答案是人類最親近的靈長類「親戚」——黑猩猩。

1981年，《自然》雜誌上發表的一篇論文引起了轟動。

兩位研究員報告說，黑猩猩不僅能知曉數量，甚至還能做分數計算。在黑猩猩面前有一個裝有有色液體的半滿玻璃杯，它必須在半個蘋果和3/4個蘋果中進行選擇，與相應的杯子匹配。

黑猩猩的抽象能力竟然足以使其辨識出：

半滿的玻璃杯與半個蘋果是匹配的。研究者們還證明，黑猩猩能在頭腦中將1/4和1/2合併成3/4，它們甚至能進行基本的分數加法計算。

除此之外，黑猩猩的實驗也表明：靈長類計算數字的原則，與我們人類完全相同。

1987年，學者們進行了「巧克力的誘惑」實驗，他們在黑猩猩面前放了兩個抽屜，每個抽屜裡都放了幾塊巧克力。

研究人員假設，這些動物會主動伸手抓向裝有最多塊巧克力的抽屜。一旦它們決定了一個抽屜，另一個抽屜就會被迅速撤回，它們就無法拿到被撤回的抽屜裡的巧克力了。

研究人員想在實驗中發現靈長類加法水平究竟如何，他們就在抽屜裡將巧克力分為兩小堆：

在一個抽屜中，將4塊巧克力堆在一起，還有一塊巧克力是單獨放的；在另一個抽屜中放了兩堆巧克力，各有3塊——而黑猩猩通常會選擇放著最多巧克力的抽屜，太優秀了。

會搶答的鸚鵡

眾所周知，鸚鵡能完美地模仿聲音和音調，但這隻名叫亞歷克斯的灰鸚鵡，並不是簡單重複它從主人那兒聽到的東西，它是真的能明白這些問題的意思。

這隻鸚鵡在2007年去世之前，學會了識別超過100個物體，7種顏色和5種形狀。它還可以簡單分辨大小、材料、形狀、顏色和數字。

當主人佩珀伯格向它展示1塊木頭和1個羊毛線團，並問它這是什麼材料，亞歷克斯會回答「羊毛」或「紙」。

亞歷克斯的計算能力也讓人印象深刻。

例如，主人向亞歷克斯伸出兩把鑰匙，問道：「有多少把？」亞歷克斯很快回答：「兩把。」

它的計算能力還不止如此。

主人向它展示了一個託盤，託盤上有2個綠色、5個藍色的立方體，還有幾輛綠色和藍色的玩具車。

然後，她問道：「有多少個綠色方塊？」雖然亞歷克斯是第一次看到以這種組合放置的物品，但它依然給出了正確答案：「2。」

亞歷克斯甚至能做簡單的加法。

在實驗中，亞歷克斯面前有兩個倒扣的不透明塑料杯，下面藏著堅果或糖。只有當實驗者抬起其中一個杯子時，亞歷克斯才能看到它下面有多少堅果。

之後，實驗者再抬起第二個杯子。亞歷克斯每次有10—15秒來得知每個杯子下的物體數量。

接著，實驗者試著與鸚鵡進行目光接觸，並問道：「總共有多少堅果？」這時，鸚鵡已經看不見杯子下面的堅果了。在總計48次單獨實驗中，鸚鵡一共只犯了7次錯誤。

有視頻有真相，一起看看鸚鵡是怎麼答題的：

柯基犬也會函數求導？

照片裡這隻天賦驚人的狗叫埃爾維斯，是一隻威爾斯柯基犬，它的主人蒂姆·彭寧斯是一位數學老師。

彭寧斯會定期和埃爾維斯一起出去溜達，在寬廣的湖邊愜意地散步，與此同時，他總是會帶上狗狗最愛的玩具：一個網球。

（圖片為示意圖，來源自網絡）

彭寧斯通常沿著水位線在沙灘上散步，把球斜著扔進水裡。此時，這位數學老師發現，埃爾維斯從來沒有過直接遊向它最喜歡的球，而是在沙灘上跑了幾米之後才一個急轉彎，跳進水裡遊完最後幾米。

數學家的直覺，讓彭寧斯開始思考為什麼埃爾維斯沒有走直線。很快，一切真相大白：狗狗會在沙灘上跑一段距離，因為它奔跑比遊泳快得多，這樣它就能花比直線遊泳更少的時間去拿到球。

（圖片為示意圖，來源自網絡）

彭寧斯分析了這個問題，並指出：

要找出最快的路徑，你必須掌握微分學，因為求相同時間下最短的路徑就等於求一個函數的最小值，而沒有人可以立馬說出這個最小值。

埃爾維斯站在A點，網球在水裡漂向了B點。

為了計算出埃爾維斯要用多少時間才能拿到球，我們必須知道它走過的路程、奔跑的速度和遊泳的速度。它在沙灘上從起點A點跑到D點，這條路線的距離是z-y。

然後，它從D點遊到B點，根據勾股定理，這段距離的長度是根號下x平方+y平方。

我們把奔跑速度設為g，遊泳速度設為s。根據時間=距離/速度，就得到了計算總時間的公式：

我們要求這個函數的最小值，就要求它的一階導數：

函數的最小值為T'（y）=0。最後，我們就得到了答案：

彭寧斯已經指出，埃爾維斯以6.4米/秒的速度奔跑，並以0.9米/秒的速度遊泳。由此得出y=0.14x。

這就是說，狗狗在沙灘上跑了很長一段時間，突然轉向，最後遊完剩下的路程。

在彭寧斯所做的35次試驗裡，埃爾維斯幾乎每次都會選擇非常接近最優解的路線。但是，這就等於埃爾維斯真能區分出或計算出函數曲線上升或下降的趨勢嗎？

這就有點兒讓人難以置信了。

有可能，埃爾維斯只是對如何以最快速度拿到心愛的網球有一種良好的直覺。它經常在沙灘上嬉戲，在水裡遊泳，它就在這當中獲得了經驗。但也許，這也是某種來自演化與遺傳的數學直覺，可以幫動物們更有效率地移動。